茶年 · 中文维基百科

辛钦常数

Wikipedia · 2025-12-08 维基百科 👁 0 阅读

在數論領域中，苏联數學家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）證明對於幾乎所有實數x，其連分數表示式的係數ai的幾何平均數之極限存在，且與x數值無關，此數值稱為辛钦常數（）。

以下是x的連分數表示式

:x = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}\;

針對任意實數x，以下的等式幾乎總是為真

:\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} =
K_0
其中 K_0為辛钦常數
:K_0 =
\prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r} \approx 2.6854520010\dots .

不符合上述條件的實數包括了有理數、實係數二次方程的解（包括黃金比例 \frac{1+\sqrt{5}}{2}），以及自然對數的底e。目前辛欽常數是否為無理數或代數數仍猶未可知。雖然幾乎所有實數之連分數係數的幾何平均都趨近於辛欽常數，但除了特意建構的實數外，並沒有實數被嚴格證明有此性質，僅有一些數值上的證據，像是圓周率及欧拉-马歇罗尼常数。

開放問題
根據數值上的證據，圓周率、歐拉-馬斯刻若尼常數、以及辛钦常数本身的連分數係數a*i的幾何平均數會趨近辛钦常数，不過這還沒有嚴謹的證明。

  • 目前還不知道辛欽常數是有理數、代數數、無理數或超越數。

相關條目

  • 李維常數

*
參考資料
*
*
*
*

外部連結

#數學常數 #連分數

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。