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梅滕斯猜想

Wikipedia · 2026-02-17 维基百科 👁 1 阅读

的前10000项与默滕斯猜想中的界限\pm \sqrt{n}。梅滕斯在計算梅滕斯函數的前一萬個值之後，猜想M(n)的絕對值恆小於\sqrt{n}，此猜想被安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（Herman te Riele）于1985年证否]]
梅滕斯猜想是数论中的一个猜想，是有關數論中梅滕斯函数上下界的猜想，由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想，不过已被与于1985年证否。

定义
数论中，有梅滕斯函数

:M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

其中，\mu(k)表示默比乌斯函数：

:M(1) = \mu(1) = 1
:M(2) = \mu(1) + \mu(2) = 1 + (-1) = 0
:M(3) = \mu(1) + \mu(2) + \mu(3) = 1 + (-1) + (-1) = -1
:M(4) = \mu(1) + \mu(2) + \mu(3) + \mu(4) = 1 + (-1) + (-1) + 0 = -1

则梅滕斯猜想是指，对所有n > 1，有

:\left| M(n) \right|

猜想的證否
湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果，也就是m(n) \equiv M(n)/\sqrt{n}有界，但其結果沒有發表（若用 m(n) 的方式表示，梅滕斯猜想是指 -1 ）

与在1985年證否了梅滕斯猜想，用的是：
:\liminf~m(n) 且 \quad\limsup~m(n) > 1.06~
之後也證實了第一個反例小於 ~e^{3.21\times10^{64}} \approx 10^{1.39\times10^{64}}~，大於1016，後來的上限已降到~e^{1.59\times10^{40}}~或近似~10^{6.91\times10^{39}}~，但還沒找到確切的反例數值。

參考資料
参考文献

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#数论 #已證否的猜想

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