Jordan–Wigner 变换可用于将自旋算符映射到费米子的产生和湮灭算符。一维晶格模型由 Pascual Jordan 与 Eugene Wigner 提出，当前亦得到二维模型的类似变换。 通过把自旋算符变换为费米子的产生湮灭算符，继而在费米子基矢中作对角化，Jordan–Wigner 变换经常用于精确求解 1D 自旋链，例如伊辛模型和 XY 模型。
此变换证明一维空间至少在有些情况下， 自旋-1/2 粒子与费米子不可区别。
自旋与费米子类比
接下来证明如何从一维自旋-1/2粒子构成的自旋链映射到费米子.
将自旋-1/2泡利算符作用到1D链的上的第j个晶座，\sigma_{j}^{+}, \sigma_{j}^{-}, \sigma_{j}^{z}. 选取 反对易算符 \sigma_{j}^{+} and \sigma_{j}^{-}, 可以发现 \{\sigma_{j}^{+},\sigma_{j}^{-}\} = 1, 这些可从费米子的产生湮灭算符中得到。我们可以尝试，
:\sigma_{j}^{+} = (\sigma_{j}^{x}+i\sigma_{j}^{y})/2 = f_j^{\dagger}
:\sigma_{j}^{-} = (\sigma_{j}^{x}-i\sigma_{j}^{y})/2 = f_j
:\sigma_{j}^{z} = 2f_j^{\dagger}f_j - 1.
这样，可以得到同晶格上费米子关系 \{f_{j}^{\dagger}, f_{j}\}=1, 但对不同的晶格，有关系 [f_{j}^{\dagger},f_{k}] = 0, 其中 j \neq k, 如此不同晶格上的自旋的对易关系不同于反对易的费米子。人们必须弥补这个问题。
Jordan–Wigner 变换
能够恢复从自旋算符到真正费米子对易关系的变换于1928由 Jordan 和 Wigner 提出。此为 Klein 变换的特殊情况。考虑费米子链，定义一组新算符
:a_{j}^{\dagger} = e^{+i\pi \sum_{k=1}^{j-1}f^{\dagger}_k f_k} f^{\dagger}_j
:a_{j} = e^{-i\pi \sum_{k=1}^{j-1}f^{\dagger}_k f_k} f_j
:a_j^{\dagger} a_j - \frac{1}{2} = f^{\dagger}_j f_j - \frac{1}{2}.
与之前的定义相差一个相 e^{\pm i\pi \sum_{k=1}^{j-1}f^{\dagger}_k f_k}。此相与场模 k=1,\ldots,j-1 下占据的费米子数有关。如果占有模数为偶，此相等于 +1； 占有模数为奇，相为 -1。表示为
:e^{\pm i\pi \sum_{k=1}^{j-1}f^{\dagger}_k f_k}=\prod_{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f^{\dagger}_k f_k}=\prod_{k=1}^{j-1}(1-2f^{\dagger}_k f_k).
最后一个等式使用了 f^{\dagger}_k f_k=0, 1.
这样，变换后的自旋算符具有正确的费米子对易关系
:\{a_i^\dagger, a_j\}=\delta_{i,j},\{a_i^\dagger, a_j^\dagger\}=0, \{a_i, a_j\}=0.
逆变换为
:a^{\dagger}_j = e^{+i\pi \sum_{k=1}^{j-1}a^{\dagger}_k a_k} \sigma_j^+
:a_j = e^{-i\pi \sum_{k=1}^{j-1}a^{\dagger}_k a_k} \sigma_j^-
:a^\dagger_j a_j = \sigma_j^z+\frac{1}{2}.
另见
- Klein transformation
- S-duality
- Michael Nielsen: [http://michaelnielsen.org/blog/archive/notes/fermions_and_jordan_wigner.pdf Notes on Jordan-Wigner Transformation]
参考文献
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