ARMA模型

ARMA模型（，全稱：自我迴歸滑動平均模型）。是研究时间序列的重要方法，由自迴歸模型（简称AR模型）与移动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

自我迴歸AR(p)模型
: X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t .\,
自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。
:其中：c是常數項；\varepsilon_t被假設為平均數等於0，標準差等於\sigma的隨機誤差值；\varepsilon_t被假設為對於任何的t都不變。

移动平均MA(q)模型
: X_t = \mu + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,
移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。
:其中 μ 是序列的均值，θ1,..., θq 是参数，εt , εt-1,..., εt−q 都是 白噪声。

ARMA(p,q)模型
ARMA(p,q)模型中包含了p個自回归项和q個移动平均项，ARMA(p,q)模型可以表示为：

: X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{j=1}^q \theta_j \varepsilon_{t-j} \

ARMA滞后算子表示法
有时ARMA模型可以用滞后算子（Lag operator）L 来表示，L^i X_t = X_{t-i}。这样AR(p)模型可以写成为：

: \varepsilon_t = \left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t = \varphi(L) X_t\,

其中\varphi表示多项式

: \varphi(L) = 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i \,

MA(q)模型可以写成为：

: X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t = \theta(L) \varepsilon_t\,

其中θ 表示多项式

: \theta(L)= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i \,

最后，ARMA(p,q)模型可以表示为：

: \left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t\,

或者

: \varphi(L) X_t = \theta(L) \varepsilon_t.\,
若\varphi(L)=1,则ARMA过程退化为MA(q)过程
若\theta(L)=1,则ARMA过程退化为AR(p)过程。

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