伽辽金方法（Galerkin method）是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин 英文：Boris Galerkin）发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。
伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。
必须强调指出的是，作为加权余量法的一种试函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解（仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足）。
因为伽辽金方法的妙处在于研究它们的抽象方法，所以我们首先给出它们的抽象推导。最后我们再给出应用的例子。
常常用到伽辽金法的领域有：
- 有限元方法
- Krylov空间法
通过抽象问题的简介
一个问题的弱形式
我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法，将问题表示成在一个希尔伯特空间V上的弱形式，也就是，求解u\in V使得对于所有v\in V
:a(u,v) = f(v)
成立。这里，a(.,.)是一个双线性型表达式,即a(u,v) = u^Tav=f(v)，f是一个V上的线性形表达式。
伽辽金离散化
选取一个n 维子空间V_n \subset V，然后求解问题在子空间中的投影：求u_n\in V_n使得对于所有v_n\in V_n
:a(u_n,v_n) = f(v_n).
我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变，但是求解域改变了。
伽辽金正交性
这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为V_n \subset V，我们可以取v_n为原方程的一个试矢量。带入并相减，便得到误差的伽辽金正交性关系
: a(e_n, v_n) = a(u,v_n) - a(u_n, v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0.
这里e_n = u-u_n是真实解u和伽辽金方程的解u_h之间的误差。
矩阵形式
因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组，我们来构造它的矩阵形式，以便利用计算机进行数值求解。
令e_1, e_2,\ldots,e_n为V_n空间中的一组基。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是充分的，也即：求解u_n \in V_n使得
:a(u_n, e_i) = f(e_i) \quad i=1,\ldots,n.
用上述基矢量表示出u_n：u_n = \sum_{j=1}^n u_je_j，将其代入上面的方程得到
:a(\sum u_je_j, e_i) = \sum u_j a(e_j, e_i) = f(e_i) \quad i=1,\ldots,n.
这样我们就得到了上面这组Au=f型的线性方程组，式中
:a_{ij} = a(e_j, e_i), \quad f_i = f(e_i).
矩阵的对称性
由于矩阵项的定义，伽辽金方程的系数矩阵是对称矩阵的充要条件是双线性型表达式a(.,.)是对称的。
伽辽金方法的进一步分析
这里，我们只讨论对称双线性型，也即
:a(u,v) = a(v,u).
虽然伽辽金方法并不要求一定对称，但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且，非对称情形的分析可能需要用到彼得罗夫－伽辽金方法。
下面我们分两步分析上述方法。第一步，论证伽辽金方程在哈达玛意义下是适定的，因此存在唯一解。第二步，讨论伽辽金解u_n的误差大小。
分析过程主要依据双线性型的两个性质：
- 有界性：对于所有u,v\in V，下式成立
*:a(u,v) \le C \|u\|\, \|v\|
- 椭圆性：对于所有u\in V，下式成立
*:a(u,u) \ge c \|u\|^2
根据Lax-Milgram定理（参看弱形式），这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有范数都是使得上面的不等式成立的范数（这些范数通常称为能量范数）。
伽辽金方程的适定性
因为V_n \subset V，双线性型的有界性和椭圆性对于V_n也成立。因此，伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。
准最佳近似（Céa引理）
真实解和伽辽金解之间的误差e_n = u-u_n有如下估计
:\|e_n\| \le \frac{C}{c} \inf_{v_n\in V_n} \|u-v_n\|.
上式翻译成文字语言就是：伽辽金解u_n的误差（和真实解u的差）能控制在V_h中最优解矢量的误差的C/c倍以下（在量级上）。特别有用的是，从此对误差的估计可以只在空间V_n中进行考虑，而完全不用回到求解的方程。
证明
因为证明非常简单，并且是各种伽辽金法的基本原理依据，因此简单介绍如下：
根据双线性型的椭圆性和有界性（下式中的两个不等号），以及伽辽金法的正交性（下式中间的等号），我们对于任意v_n\in V_n有：
:c\|e_n\|^2 \le a(e_n, e_n) = a(e_n, u-v_n) \le C \|e_n\| \, \|u-v_n\|.
全式除以c \|e_n\|并对所有可能的v_h取下确界得到该引理。
例子
#在有限元法中应用泊松方程
#应用到共轭梯度法
文献
通常，伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。
因此，读者可以参考有限元方法的教科书。
譬如
*P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978
在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到：
- Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003
外部链接
- [https://web.archive.org/web/20060509214203/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/GalerkinMod.html 伽辽金法（英文）（Galerkin's Method）]
- [http://mathworld.wolfram.com/GalerkinMethod.html MathWorld对伽辽金法的介绍]
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