雙曲複數

雙曲複數（）或分裂复数（），是異於複數而對實數所做的推廣。

定義
考慮數z=x+jy，其中x,y是實數，而量j不是實數，但j^2是實數。

選取j^2=-1，得到一般複數。取+1的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：
: (x+jy) + (u+jv) = (x+u) + j(y+v)
: (x+jy)(u+jv) = (x+jy)(u)+(x+jy)(jv) = xu+jyu+jxv+j^2 yv = (xu+yv) + j(xv+yu)

共軛、範數
對於z=x+jy，其共軛值z^*=x-jy。對於任何雙曲複數z,w，
: (z+w)^ = z^ + w^*
: (zw)^ = z^ w^*
: (z^)^ = z

可見它是自同構的。

定義內積為 \langle z, w \rangle = Re(zw^) = Re(zw^) = xu-yv 。若 \langle z, w \rangle = 0 ，說z,w（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：
: \lVert z \rVert = \langle z, z \rangle = z z^ = z^ z = x^2 - y^2。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：\lVert zw \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert 。

除法
除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{z^}{z z^} = \frac{z^*}{\lVert z \lVert}

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為k(1 \pm j)，其中k是實數。

基
雙曲複數的冪等元有：

列方程(x+jy)^2 = (x^2 + y^2) + 2xyj。有四個解：1,0,s=(1-j)/2,s^*=(1+j)/2。

s和s^都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^ 。

若將z=ae+be^*表示成(a,b)，雙曲複數的乘法可表示成(a,b)(c,d)=(ac,bd) 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為(a,b)^* = (b,a)，範數\lVert (a,b) \rVert = ab。

幾何
有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R1,1。正如歐几里得平面R2的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的a，點集 \{z : \lVert z \lVert = a^2 \} 是雙曲線。左邊和右邊的會經過a和-a。a=1稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是\{z : \lVert z \lVert = -a^2 \} ，會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 \{z : \lVert z \lVert = 0 \} 分開。

歐拉公式的相應版本是e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)。

歷史
1848年，詹姆斯·科克爾（James Cockle）提出了雙複數（當時他將其稱為「」）。1873 年，William Kingdon Clifford 在《Preliminary Sketch of Biquaternions》中使用复四元数（biquaternions）讨论刚体运动中的 rotor、motor、扭矩和力矩；其后该文被收入 1882 年出版的《Mathematical Papers》集中。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。