狄拉克符号或狄拉克標記（）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的態向量，定义为右矢（ket）：|\psi\rangle；每一个右矢的共軛轉置定义为其左矢（bra）；换一种说法，右矢的厄米共轭（即取转置运算加上共轭复数运算），就可以得到左矢。
此標記法為狄拉克於1939年将「bracket」（括号）这个词拆开后所造的。在中國大陸方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”，现已弃用。
矩陣表示
右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：
:|\psi\rangle = \begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\psi_3 \\
\psi_4 \\
\vdots \\
\psi_N \\
\end{pmatrix}
:\langle\psi| = \begin{pmatrix}\psi_1^,& \psi_2^,& \psi_3^,& \psi_4^,& \cdots ,& \psi_N^* \end{pmatrix}
不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：\langle\phi|\psi\rangle，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：\langle e_i|e_j\rangle = \delta_{ij} （\delta_{ij}为克罗内克函數）
相同的态矢量内积为：\langle\psi|\psi\rangle = \sum_i |\psi_i|^2。
性質
因為每個右矢是複希爾伯特空間中的一個向量，而每個右矢-左矢關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：
- 給定任何左矢\langle\phi|、右矢|\psi_1\rangle以及|\psi_2\rangle，還有複數c1及c2，則既然左矢是線性泛函，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，
::\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle。
- 給定任何右矢|\psi\rangle、左矢\langle\phi_1|以及\langle\phi_2|，還有複數c1及c2，則既然右矢是線性泛函，
::\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle。
- 給定任何右矢|\psi_1\rangle及|\psi_2\rangle，還有複數c1及c2，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），
::
c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle與 c_1^ \langle\psi_1| + c_2^ \langle\psi_2|
對偶。
- 給定任何左矢\langle\phi|及右矢|\psi\rangle，內積的一個公理性質指出
::\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*。
- 給定任何算符X、左矢\langle\phi|及右矢|\psi\rangle，它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理，例如，
::(|\omega\rang\langle\phi|)\ |\psi\rangle = |\omega\rang\ (\langle\phi|\psi\rangle)、
::\lang\phi|\ (X|\psi\rang) = (\lang\phi| X)\ |\psi\rang 。
相關條目
- 量子態
- 内积空间
- 角動量圖
參考文獻
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