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戴尔指数

Wikipedia · 2025-07-04 维基百科 👁 1 阅读

戴尔指数（）又稱為泰爾指數，是一个衡量经济不平等的统计量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象，如種族隔離。

戴尔指数主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴尔指数等於資訊冗餘，也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵，它是的特例，可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。：
:
T_T=T_{\alpha=1} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{x_i}{\mu} \ln\left(\frac{x_i}{\mu} \right)

而戴爾指數L則定義為
:
T_L = T_{\alpha=0}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \ln\left(\frac{\mu}{x_i}\right)

其中x_i为第i个人的收入，{\mu}为平均收入，N为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是個離散分布函數 fk (k = 0,...,W)，其中fk是收入為k的人口比例，而W = Nμ 代表總收入，可以得知 \sum_{k=0}^W f_k=1 。
它的戴爾指數T定義為：
:
T_T=\sum_{k=0}^W\, f_k\, \frac k \mu \ln\left(\frac k \mu \right)

這裡的\mu一樣是收入平均
:
\mu=\sum_{k=0}^W k f_k

其中應注意到收入k是一個整數，k=1代表最小收入增量（比如新台幣1元）。

如果收入分布是個連續分布函數f(k)，k取值0到無窮，其中f(k) dk 是收入為k 到 k + dk的人口數量，那戴爾指數T定義為：

:T_T=\int_0^\infty f(k) \frac k \mu \ln\left(\frac k \mu \right) dk

其中平均\mu為：

:
\mu=\int_0^\infty k f(k) \, dk

一些常見連續概率分佈的戴尔指數如下表所示：

:

如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为\ln{N}。TT 除以\ln N 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反: T[x\cup x]\ne T[x]並不符合衡量不平等的標準。

信息論推導
戴尔指数导自克勞德·夏農的信息熵，他的一般數學形式為：

:S = k \sum_{i=1}^N \left( p_i \log{\frac{1}{p_i}} \right) = - k \sum_{i=1}^N \left( p_i \log{p_i} \right)

其中 p_i是從人群裡找到i的機率。k是玻爾茲曼常數。在信息論中，當信息以二進制數字給出時，k=1並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當p_i替換成人均收入x_i時，需要除以總收入達到歸一化N\overline{x}。那可以導出，觀察到的信息熵為：

: S_\text{Theil} = \sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{N \overline{x}} \ln{\frac{N \overline{x}}{x_i}} \right)

设T为戴尔指数，S为夏農熵，则有

T=\ln(N)-S

其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。

可分解性
戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为m个子群体，s_k 为群体k 的收入比例，T_k为该子群体的戴尔指数，而 \overline{x}_k 为子群体 k的平均收入，则戴尔指数为

:
T = \sum_{k=1}^m s_k T_{T_k} + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}}

因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

參考文獻
外部連結
*[http://utip.gov.utexas.edu/papers/utip_14.pdf 德克萨斯大学戴尔指数简介] （英文）
*試算表: 收入不平等指标#电子表格计算

#经济指数 #计量经济学 #福利经济学

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