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线性代数

Wikipedia · 2026-05-03 维基百科 👁 1 阅读

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R3是一個向量空間，而通過原點的線及平面是R3的向量子空間]]

线性代数（）是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。

坐标满足线性方程的点集形成n维空间中的一个超平面。n个超平面相交于一点的条件是线性代数研究的一个重要焦点。此项研究源于包含多个未知数的线性方程组。这样的方程组可以很自然地表示为矩阵和向量的形式。

线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。

泛函分析研究无穷維度情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为算子理论。

线性代数的方法还用在解析几何、工程、物理、自然科学、計算機科學、计算机动画和社会科学（尤其是经济学）中。由于线性代数是一套完善的理论，非线性数学模型通常可以被近似为一般線性模型。

历史
线性代数的研究最初出现于对行列式的研究上。行列式当时被用来求解线性方程组。莱布尼茨在1693年使用行列式。随后，加布里尔·克拉默在1750年推导出求解线性方程组的克萊姆法則。然后，高斯利用高斯消元法发展出求解线性系统的理论。这也被列为大地测量学的一项进展。

现代线性代数的历史可以上溯到19世纪中期的英国。1843年，哈密顿发现四元数。1844年，赫爾曼·格拉斯曼发表他的著作《线性外代数》（Die lineare Ausdehnungslehre），包括今日线性代数的一些主题。1848年，詹姆斯·西爾維斯特引入矩阵（matrix），该词是“子宫”的拉丁语。阿瑟·凯莱在研究线性变换时引入矩阵乘法和转置的概念。很重要的是，凯莱使用一个字母来代表一个矩阵，因此将矩阵当做了聚合对象。他也意识到矩阵和行列式之间的联系。第一次现代化精确定义向量空间是在1888年，由朱塞佩·皮亞諾提出。在1888年，弗兰西斯·高尔顿还发起相关系数的应用。经常有多于一个随机变量出现并且它们可以互相关。在多变元随机变量的统计分析中，相关矩阵是自然的工具。所以这种随机向量的统计研究帮助矩阵用途的开发。到1900年，一种有限维向量空间的线性变换理论被提出。在20世纪上半叶，许多前几世纪的想法和方法被总结成抽象代数，线性代数第一次有了它的现代形式。矩阵在量子力学、狭义相对论和统计学上的应用帮助线性代数的主题超越纯数学的范畴。计算机的发展导致更多地研究致力于有关高斯消元法和矩阵分解的有效算法上。线性代数成为数字模拟和模型的基本工具。在下表中，令u,v和w为V中的任意向量，a和b为F中的标量。**

一般向量空间V可能有不同性质的元素，例如，函数、多项式、向量或矩阵。线性代数关注的是所有向量空间的共同性质。

线性变换
子空间
矩阵理论
矩阵是一个矩形的数学方阵。一个方阵可看作两个矢量空间的线性变阵，故矩阵理论可当作线性代数的一个分枝。

在图论，每一个加上标示图对应唯一的非负矩阵，称为邻接矩阵。

排列矩阵是排列的矩阵表达式，在组合数学极为重要。

正定矩阵及半正定矩阵可用来寻找实数函数的极大值或极小值。

任意环矩阵亦非常重要。举例说，多项式环的矩阵用于控制理论。

另外，不同的矩阵环经常是提供数学上反例的素材。
特征值和特征向量
一般情况下，线性变换可能相当复杂。一些低维的例子，让我们领会不同的类型。一般的n维变换T的一个技巧是找到在T下的不变集——特征线。如果v是一个非零向量，使得Tv为v的标量倍，那么通过0和v的直线就是在T下的不变集，而v被称为特征向量。使得Tv-\lambda v的标量\lambda叫做T的特征值。

要求一个特征向量或特征值，我们注意到

:Tv-\lambda v=(T-\lambda \, \text{I})v=0,

其中I是单位矩阵。为使该方程存在非平凡解，\det \left( T -\lambda I \right)=0。行列式是一个多项式，所以在域\mathbb{R}内不保证存在特征值。

内积空间
相关定理

  • 每一个线性空间都有一个基。
  • 对一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使AB=BA=I（I是单位矩阵），则A为非奇异方阵。
  • 一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
  • 一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
  • 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
  • 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

一般化和相关主题
线性代数是一个成功的理论，其方法已被应用于数学的其他分支。模论就是将线性代数中的标量的域用环替代，並进行研究，像線性無關、线性生成空间、基底、秩等概念仍然可以適用。不過許多線性代數中的定理在模论中不成立，例如不是所有的模都有基底（有基底的模稱為自由模），自由模的秩不唯一，不是所有模中的線性獨立的子集都可以延伸成為基底，也不是所有模生成空间的子集都包括基底。

多重线性代数推广线性代数的方法。和线性代数一样也是建立在向量的概念上，发展向量空间的理论。在应用上，出现许多类型的张量。

在算子的谱理论中，通过数学分析，可以控制无限维矩阵。泛函分析混合线性代数和数学分析中的方式，研究許多不同函數空間，例如Lp空间。

注解
参见

  • 数值线性代数
  • 特征向量
  • 基础矩阵
  • 線性回歸
  • 單純形法
  • 线性规划
  • 变换矩阵

拓展阅读

外部链接
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