高德納箭號表示法

高德納箭號表示法（）是種用來表示很大的整數的方法，由高德納於1976年設計。它的概念來自冪是重複的乘法，乘法是重複的加法。

簡介
乘法是重複的加法：a \times b = a+a+\cdots+a （有b個a）

冪是重複的乘法：a^b = a \uparrow b = a \times a \times \cdots \times a（有b個a）

於是高德納定義「雙箭號」運算符，作重複的冪運算，或稱迭代冪次：
a \uparrow\uparrow b=

\begin{matrix} \underbrace{ a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a } \\ b\end{matrix}

= \begin{matrix} \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} \\ b\end{matrix} = {^{b}a}（中文读法為「b个a重幂」）

計算時是由右至左計的。

:3 \uparrow \uparrow 2 = {^{2}3} = 3^3 = 27
:3 \uparrow \uparrow 3 = {^{3}3} = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987
:3 \uparrow \uparrow 4 = {^{4}3} = 3^{3^{3^3}} = 3^{7625597484987} \approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}
:3 \uparrow \uparrow 5 = {^{5}3} = 3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{7625597484987}} \approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}

多於兩個箭號時，

:3 \uparrow\uparrow \uparrow 2 = 3 \uparrow\uparrow 3 = {^{3}3} = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987\,\!

:3 \uparrow\uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 = {^{^{3}3}3} = {^{7625597484987}3} = \begin{matrix} \underbrace{3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} \\ 7625597484987\end{matrix}

使用指數來解釋高德納箭號表示法
a \uparrow \uparrow b代表重複的冪，或迭代冪次，例如：
a \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow (a \uparrow (a \uparrow a)) = a^{a^{a^a}}

當b為變量或過大時，重複的冪可以如下表示：

:a \uparrow \uparrow b = \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{b}

指數不只能解釋兩個箭號的運算，三個箭號也行。

:a \uparrow \uparrow \uparrow 2 = a \uparrow \uparrow a =
\underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a}
:a \uparrow \uparrow \uparrow 3 = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow a) =
\underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a} }
:a \uparrow \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow \uparrow [a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow a)] =
\underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a} }}

再次的，當b為變量或過大時，三個箭號的運算可以如下表示：

:a \uparrow \uparrow \uparrow b =
\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\} b

四個箭號可以如下表示：

:a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2 = a \uparrow \uparrow \uparrow a =
\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
a
:a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 = a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow a) =
\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
\underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
a
:a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow \uparrow \uparrow [a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow a)] =
\left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
\underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
\underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
a

再次的一般化：

:a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b =
\underbrace{
\left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
\underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
\cdots \right\}
a
}_{b}

這種方法可以用來表示任何能夠用高德納箭號表示法表示的數，但是會變得相當麻煩。

一般化
若要用多個箭號時，可用↑n表示，但有些數還是大得連這種表示法也不夠用，例如葛立恆數。

這時可能用hyper運算符或康威鏈式箭號表示法方便一點。

:
\begin{matrix}
a\uparrow^n b & = & \mbox{hyper}(a,n+2,b) & = & a\to b\to n \\
\mbox{(Knuth)} & & & & \mbox{(Conway)}
\end{matrix}

定義
對於整數a、非負整數b和正整數n：

這個表示法符合向右結合律。

參考

• Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.

*

• Robert Munafo, [http://www.mrob.com/pub/math/largenum.html Large Numbers]