次方數

說明4, 8, 9是次方數]]

次方數，也称为累乘数、幂次数（），是指一正整数n可以表示為另一正整數的平方、立方或更高次方。n為次方數的條件是存在正整數m > 0及k > 1使得mk = n，此時n可以稱為完全k次方數，若k = 2或k = 3，n可以稱為平方數或立方數。由於針對任意正整數k，1k = 1均成立，0k = 0也成立，因此有時也將0, 1視為次方數。

次方數的列表和倒數和
次方數數列可以用將m和k代換不同的整數值而得，以下是頭幾個次方數（允許重複數字）:
: 2^2 = 4,\ 2^3 = 8,\ 3^2 = 9,\ 2^4 = 16,\ 4^2 = 16,\ 5^2 = 25,\ 3^3 = 27, 2^5 = 32,\ 6^2 = 36,\ 7^2 = 49,\ 2^6 = 64,\ 4^3 = 64,\ 8^2 = 64, \dots

次方數倒數的和（其中可以有重複的次方數，像34和92都是81）為1：
:\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}=1.

可以用下式證明：
:\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right)
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)}
=\sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} \right) = 1 \, .

沒有重複的的次方數如下：
:（有時會有0和1）4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ...

沒有重複的次方數，倒數和為：

:\sum_{p}\frac{1}{p}=\sum_{k=2}^{\infty}\mu(k)(1-\zeta(k)) \approx 0.874464368 \dots

其中μ(k)是默比乌斯函数，and ζ(k)是黎曼ζ函數。

依萊昂哈德·歐拉所述，克里斯蒂安·哥德巴赫曾在信上證明（而信沒有留下），若p是0,1以外的次方數，且不考慮重複次方數，的和為1：

:\sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.

有時會稱為。

次方數之間的間距
2002年時，羅馬尼亞數學家證明了唯一一組連續的次方數是23 = 8和32 = 9，證明了卡塔蘭猜想。

Pillai猜想指出針對任意正整數k，只有有限對次方數的間距會是k，此問題目前還未解決。
參考資料