条件概率分布（Conditional Probability Distribution，或者 条件分布，Conditional Distribution ）是现代概率论中的概念。已知两个相关的随机变量X 和Y，随机变量Y 在条件{X =x}下的条件概率分布是指当已知X 的取值为某个特定值x之时，Y 的概率分布。 如果Y 在条件{X =x}下的条件概率分布是连续分布，那么其密度函数称作Y 在条件{X =x}下的条件概率密度函数（条件分布密度、条件密度函数）。与条件分布有关的概念，常常以“条件”作为前缀，如条件期望、条件方差等等。
例子
假设在桌子上抛掷一枚普通的骰子，则其点数结果的概率分布是集合\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}的均匀分布：每个点数出现的概率都是均等的六分之一。然而，如果据某个坐在桌边的人观察，向着他的侧面是6点，那么，在此条件下，向上的一面不可能是6点，也不可能是6点对面的1点。因此，在此条件下，抛骰子的点数结果是集合\{ 2, 3, 4, 5\}的均匀分布：有四分之一的可能性出现2, 3, 4, 5四种点数中的一种。可以看出，增加的条件或信息量（某个侧面是6点）导致了点数结果的概率分布的变化。这个新的概率分布就是条件概率分布。
数学定义
更为严格清晰的定义需要用到数学语言。当随机变量是离散或连续时，条件概率分布有不同的表达方法。
离散条件分布
对于离散型的随机变量X 和Y（取值范围分别是\mathcal{I}和\mathcal{J}），随机变量Y 在条件{X =x}下的条件概率分布是：
:\forall j \in \mathcal{J}, \quad p_{Y\mid X}(j)= p_Y(j \mid X = i)=P(Y = j \mid X = i) = \frac{P(X=i ,Y=j)}{P(X=i)}. （P(X=i)>0）
同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率分布是：
:\forall i \in \mathcal{I}, \quad p_{X\mid Y}(i)= p_X(i \mid Y= j)=P(X = i \mid Y = j ) = \frac{P(X=i ,Y=j)}{P(Y=j)}. （P(Y=j)>0）
其中，P(X=i ,Y=j)是X 和Y 联合分布概率，即“X=i，并且Y=j发生的概率”。如果用p_{ij}表示P(X=i ,Y=j)的值：
P(X=i ,Y=j) = p_{ij}
那么随机变量X 和Y 的边际分布就是：
:P(X=i) = p_{i.} = \sum_{j \in \mathcal{J} } p_{ij}
:P(Y=j) = p_{. j} = \sum_{i \in \mathcal{I} } p_{ij}
因此， 随机变量Y 在条件{X =x}下的条件概率分布也可以表达为：
:p_{Y\mid X}(j) = P(Y = j \mid X = i) = \frac{p_{ij}}{ p_{i .} }.（p_{i .}>0）
同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率分布也可以表达为：
:p_{X\mid Y}(i)= \frac{p_{ij}}{ p_{.j} }.（p_{. j}>0）
连续条件分布
对于连续型的随机变量X 和Y，P(X=i)=P(Y=j)=0，因此对离散型随机变量的条件分布定义不适用。假设其联合密度函数为f(x,y)，X 和Y 的边际密度函数分别是f_X(x)和f_Y(y)，那么Y 在条件{X =x}下的条件概率密度函数是：
:f_{Y|X}(y|x) = f_Y(y \mid X=x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}.
同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率密度函数是：
:f_{X|Y}(x|y) = f_X(x \mid Y=y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.
条件分布和独立分布
在一定意义上，条件分布和独立分布是相对的。如果两个随机变量X 和Y 是独立分布的，那么不论是否已知某个关于X 的条件，都不会影响Y 的概率分布。用数学语言来说，就是：
; P(Y = y \mid X = x) = P(Y=y) = p_Y(y)
这与独立分布的定义是相合的，事实上，随机变量X 和Y 相互独立分布，则：
; P(Y = y , X = x) = P(Y=y) \cdot P(X = x).
因此
; P(Y=y) = \frac{P(Y = y , X = x)}{ P(X = x)} = P(Y = y \mid X = x) .
参见
*条件概率
*正则条件概率
参考资料
*
评论 (0)