塑膠數

{{Infobox number
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數表—

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| name=塑膠數
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| value=\rho\approx1.3247179572...
| root of=x^3-x-1 = 0\,
| symbol=\rho
| type=無理數
| OEIS=A060006
| 連分數=[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...]
| algebraic=\sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{69}}{18}}
| basedata =
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塑膠數或銀數是一元三次方程 x^3 = x+1\, 的唯一一個實數根，其值為

:\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}

約等於 1.3247179572447460259609 。

塑膠數對於佩蘭數列和巴都萬數列，就如黃金分割對於斐波那契數列——是兩項的比的極限。它亦是最小的皮索數。

塑膠數的來源
塑膠數是方程x^3 = x+1\,的唯一實數根。

對於方程x^3 = x+1\,，現將等式右邊變為0，即

x^3-x-1 = 0\,

由勘根定理可判斷出該實根大小介於1與2之間，設

x = \frac{\lambda}{y}+y\,，

則

y = \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{x^2-4\lambda}\,

得到

-1-y-\frac{\lambda}{y}+\left(y+\frac{\lambda}{y}\right)^3 = 0\,

等式兩邊同時乘 y^3 得

y^6+y^4\left(3\lambda-1\right)-y^3+y^2\left(3\lambda^2-\lambda\right)+\lambda^3 = 0\,

令\lambda = \frac{1}{3}\,，將其帶入上面方程，并設z = y^3\,，得到一個z 的二次方程

z^2-z+\frac{1}{27} = 0\,

解得

z = \frac{1}{18}\left(9+\sqrt{69}\right)\,

根據z = y^3\,，得

y^3 = \frac{1}{18}\left(9+\sqrt{69}\right)\,

則y 有實數解

y = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\,

根據y 与\lambda 的關係，得y = \tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{2}\sqrt{x^2-\tfrac{4}{3}}\,，得x 的實數解

x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\,

參考文獻