{{NoteTa
|G1=数学
|1=zh-hans:威沙特;zh-hant:威沙特;
|d1=Wishart；防止「沙-{}-特-沙-{烏}-地」（Saudi）過度轉換
}}
{{機率分佈
|name =逆威沙特分布
|type =密度 | pdf_image = | cdf_image =
|parameters = m > p-1\! 自由度 (實數)
\mathbf{\Psi} > 0\, 尺度矩陣 (正定)
|support =\mathbf{W}\!是正定的
|pdf =\frac{\left|{\mathbf\Psi}\right|^{m/2}\left|B\right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm{trace}({\mathbf\Psi}{\mathbf B}^{-1})/2} }{2^{mp/2}\Gamma_p(m/2)}
|cdf =
|mean =\frac{\mathbf{\Psi}}{m - p - 1}
|median =
|mode =\frac{\mathbf{\Psi}}{m + p + 1}
|variance =
|skewness = | entropy =
|kurtosis =
|mgf = | char = }}
逆威沙特分布，也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数，定义在实值的正定矩阵上。在贝叶斯统计中，逆威沙特分布會用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。
如果一个正定矩阵 {\mathbf B} 的逆矩阵 \mathbf{B}^{-1} 遵从威沙特分布 W({\mathbf \Psi}^{-1}, m) 的话，那么就说矩阵 {\mathbf B} 遵从逆威沙特分布：
: \mathbf{B}\sim W^{-1}({\mathbf\Psi},m)
概率密度函数
逆威沙特分布的概率密度函数是：
:
\frac{
\left|{\mathbf\Psi}\right|^{m/2}\left|\mathbf{B}\right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm{trace}({\mathbf\Psi}{\mathbf B}^{-1})/2}
}{
2^{mp/2}\Gamma_p(m/2)},
其中 {\mathbf B} 和 {\mathbf\Psi} 都是 p\times p 的正定矩阵，而Γp(·) 则是。函数
:\mathrm{trace} \; : \quad \mathbf{M} \quad \rightarrow \quad \mathrm{trace}(\mathbf{M})
指的是迹函数。
相关定理
威沙特分布矩阵之逆的概率分布
设矩阵{\mathbf A}\sim W({\mathbf\Sigma},m) 并且 {\mathbf\Sigma} 是p \times p 的矩阵，那么 {\mathbf B}={\mathbf A}^{-1} 遵从逆威沙特分布：{\mathbf B}\sim W^{-1}({\mathbf\Sigma}^{-1},m)。它的概率密度函数是：
:
p(\mathbf{B}|\mathbf{\Psi},m) =
\frac{
\left|{\mathbf\Psi}\right|^{m/2}\left|\mathbf{B}\right|^{-(m+p+1)/2}\exp\left({-\mathrm{tr}({\mathbf\Psi}{\mathbf B}^{-1})/2}\right)
}{
2^{mp/2}\Gamma_p(m/2)}
其中 \mathbf{\Psi} = \mathbf{\Sigma}^{-1}，而 \Gamma_p(\cdot) 是多变量伽马分布。
威沙特分布矩阵之逆的边际与条件分布
设矩阵 {\mathbf A}\sim W^{-1}({\mathbf\Psi},m) 遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵 {\mathbf A} 和 {\mathbf\Psi} 都有相适合的分块矩阵表示方式：
:
{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{bmatrix}, \;
{\mathbf{\Psi}} = \begin{bmatrix} \mathbf{\Psi}_{11} & \mathbf{\Psi}_{12} \\ \mathbf{\Psi}_{21} & \mathbf{\Psi}_{22} \end{bmatrix}
其中子矩阵 {\mathbf A_{ij}} 和 {\mathbf \Psi_{ij}} 是 p_{i}\times p_{j} 的矩阵，那么会有：
甲） {\mathbf A_{11} } 和 {\mathbf A}_{11}^{-1}{\mathbf A}_{12} 与 {\mathbf A}_{22\cdot 1} 相互独立，其中 {\mathbf A_{22\cdot 1}} = {\mathbf A}_{22} - {\mathbf A}_{21}{\mathbf A}_{11}^{-1}{\mathbf A}_{12} 是子矩阵 {\mathbf A_{11} } 在 {\mathbf A} 中的舒尔补。
乙） {\mathbf A_{11} } \sim W^{-1}({\mathbf \Psi_{11} }, m-p_{2}) ;
丙） {\mathbf A}_{11}^{-1} {\mathbf A}_{12}| {\mathbf A}_{22\cdot 1} \sim MN_{p_{1}\times p_{2}}
( {\mathbf \Psi}_{11}^{-1} {\mathbf \Psi}_{12}, {\mathbf A}_{22\cdot 1} \otimes {\mathbf \Psi}_{11}^{-1}) ，其中 MN_{p\times q}(\cdot,\cdot) 是矩阵正态分布。
丁） {\mathbf A}_{22\cdot 1} \sim W^{-1}({\mathbf \Psi}_{22\cdot 1}, m)
共轭分布
假设要求先验分布 {p(\mathbf{\Sigma})} 为逆威沙特分布 W^{-1}({\mathbf\Psi},m) 的协方差矩阵{\mathbf{\Sigma}}。如果观测值
\mathbf{X}=[\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n] 是从互相独立的 p-变量正态分布 N(\mathbf{0},{\mathbf \Sigma}) 的随机变量得到的，那么条件分布
{p(\mathbf{\Sigma}|\mathbf{X})} 遵从的是逆威沙特分布：W^{-1}({\mathbf A}+{\mathbf\Psi},n+m)。其中 {\mathbf{A}}=\mathbf{X}\mathbf{X}^T 是样本协方差矩阵的n倍。
因此，逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。
矩相关特性
期望值：
:
E(\mathbf B) = \frac{\mathbf\Psi}{m-p-1}.
矩阵 \mathbf{B} 的每一个系数的方差：
:
\mbox{var}(b_{ij}) = \frac{(m-p+1)\psi_{ij}^2 + (m-p-1)\psi_{ii}\psi_{jj}}
{(m-p)(m-p-1)^2(m-p-3)}
对角系数的方差是在上式中令 i=j 得到，化简后变成：
:
\mbox{var}(b_{ii}) = \frac{2\psi_{ii}^2}{(m-p-1)^2(m-p-3)}.
相关分布
当变量数目减到一个的时候，逆威沙特分布会变成特例：。也就是说，当 p=1、\alpha = m/2、\beta = \mathbf{\Psi}/2 以及 x=\mathbf{B} 的时候，逆威沙特分布的概率密度函数是：
: p(x|\alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha\, x^{-\alpha-1} \exp(-\beta/x)}{\Gamma_1(\alpha)}.
这正是逆伽马分布。其中 \Gamma_1(\cdot) 是通常的伽马函数。
而逆威沙特分布也有推广，其中一个是。
参见
*威沙特分布
*矩阵正态分布
参考来源
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