質數階乘質數

質數階乘質數（又稱-{素}-數階乘-{質}-數或-{質}-數階乘-{素}-數）是和某个質數階乘相邻的質數，即它是某个質數階乘的增一或減一。
:pn的質數階乘記作pn#。

:pn# − 1是質數，對n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ...

:pn# + 1是質數，對n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...（）

前幾個質數階乘質數是：
:3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209

截至2022年，已知的最大质数阶乘质数是 3267113#-1 ，它有 1418398 位数，由发现。已知的最大的形如 n#+1 的质数阶乘质数是 392113#+1 ，它有 169966 位数，由Daniel Heuer发现。

質數階乘質數也能用來證明質數是無限的。
首先，假設前n個質數是唯一存在的質數。如果pn# + 1或pn# − 1是質數階乘質數，這意味著有比第n個質數更大的質數（即使不是質數，也能證明質數無窮，但不那麼直接。這兩個數除以前n個中的任何一個質數 p 時，都有餘數 1 或 p−1 ，因此不整除其中任何一數）。

事實上，歐幾里得的證明並沒有假設一個有限集合包含所有質數的存在。相反，他說：
consider any finite set of primes
(not necessarily the first n primes;
e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
and then went on from there to the conclusion
that at least one prime exists that is not in that set.

意思是：
考慮任何質數的有限集合（不一定是一開始的質數，例如，它可以是集合{3，11，47}），然後從兩個方面得到這樣的結論：至少存在一個不在該集合的質數。[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html]

參見

• 質數階乘
• 階乘質數
• 歐幾里得數

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參考文獻

• A. Borning, "Some Results for k! + 1 and 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot p + 1" Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
• Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 The Top Twenty: Primorial] at The .

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• Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197 - 203.
• Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.