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質數階乘（又稱：-{zh-cn:质数;zh-tw:素數;zh-hk:素數;}-階乘）是所有小於或等於該數的質數的積，自然數n的質數階乘，寫作n#。例如10以下的質數有：2、3、5、7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值，寫作pn#。例：第三個質數為5，所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。
質數階乘與階乘不同於，質數階乘是質數乘積而階乘是自然數乘積。
質數階乘由定義並命名。

用質數定義
第n個質數pn的質數階乘pn#定義為前n*個質數的積：
:p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k
其中pk是第k個質數。

例如，p5#代表前五個質數的乘積：
:p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310

前幾個質數階乘pn#*是：
:...

並定義p0# = 1 為空積。

質數階乘pn#的漸進遞增為：
:p_n\# = \exp \left [ (1 + o(1)) \cdot n \log n \right ]
:n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#

其中，π(n)是質數計數函數，表示小於或等於某個實數n的質數的個數。

它等於：
:
n\# =
\begin{cases}
1 & \text{if }n = 1 \\
n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1 \land n \text{ is prime} \\
(n-1)\# & \text{if }n > 1 \land n \text{ is composite}
\end{cases}

*prime指質數，composite指合成數
例如，12# 代表質數≤ 12：
:12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310

因為π(12) = 5，所以這個算式也可以寫成：
:12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310

前幾個自然質數階乘n#是：
:1、 2、 6、 6、 30、 30、 210、 210、 210、 210、 2310、 2310
不難發現當n為合成數時，n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#，因為12為合成數。

n#的自然對數是第一個切比雪夫函數，记為\theta(n) 或 \thetasym(n)。換句話說，若n\#是不大於n的質數的質數階乘，則\ln{n\#} = \thetasym(n)，或等價地，n\# = e^{\thetasym(n)}

質數階乘n#的漸進遞增為：
:\ln (n\#) \sim n

質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。（參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式）

恆等式
黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function J_{k}(n)表示：

\zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots

質數階乘列表（部分）
參見
*質數（-{zh-cn:质数;zh-tw:素數;zh-hk:素數;}-）
*階乘
*歐幾里得數
*邦泽不等式
*切比雪夫函數

參考文獻

Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

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