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墨卡托級數

Wikipedia · 2025-02-04 维基百科 👁 1 阅读

在數學內，墨卡托級數（）或者牛頓-墨卡托級數（）是一個自然對數的泰勒級數：

:\ln (1+x) \;=\; x \,-\, \frac{x^2}{2} \,+\, \frac{x^3}{3} \,-\, \frac{x^4}{4} \,+\, \cdots.

使用大寫sigma表示則為

:\ln (1+x) \;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n.

當 −1 \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.

或者，我們可以從有限的等比數列開始(t ≠ −1)

:1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} = \frac{1 - (-t)^n}{1+t}

這可以導出

:\frac{1}{1+t} = 1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} + \frac{(-t)^n}{1+t}.

然後得到

:\int_0^x \frac{dt}{1+t} = \int_0^x \left( 1 - t + t^2 - \cdots + (-t)^{n-1} + \frac{(-t)^n}{1+t} \right)\, dt

接著逐項積分，

:\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + (-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1+t} \,dt.

若−1 n \to \infty時趨近於零。

這個表示法可以重複積分k次，得到

:-xA_k(x)+B_k(x) \ln (1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},

這裡的

:A_k(x) = \frac{1}{k!}\sum_{m=0}^k{k \choose m}x^m\sum_{l=1}^{k-m}\frac{(-x)^{l-1}}{l}
和
:B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x)^k
都是x的多項式。

特例
令墨卡托級數裡面的x = 1，則我們會得到交錯調和級數

:\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.

複數級數
下面的複數冪級數

: z \,-\, \frac{z^2}{2} \,+\, \frac{z^3}{3} \,-\, \frac{z^4}{4} \,+\, \cdots

是ln(1 + z)的泰勒級數，這裡ln代表複對數（）的主要分支（）。這個級數收斂於一個開放的單位圓盤 |z| < 1 以及圓 |z| = 1 ， z = -1除外 (根據阿貝爾判別法)，而且這裡的收斂對每個半徑小於一的圓盤是一致的 。

參考資料
*

#級數 #對數

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