数学形态学

数学形态学（Mathematical morphology） 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。

二值形态学
在二值形态学中，一个图案被看做是 n 维欧几里得空间 \mathbb {R}^n 或网格 \mathbb {Z}^{n} 的子集。

结构元素
在二值结构学中，结构元素为一个二值影像，作为分析影像时使用的「探针」，代表当处理影像上的某点时、要取出周围的哪些点进行运算。

以下是几个常用的结构元素(将原图写作A、结构元素写作B)：

待处理影像为二维类比影像 A\in E=\mathbb{R}^2，使用的结构元素B为一以原点为圆心、半径为r的圆盘。
待处理影像为二维类比影像 A\in E=\mathbb{R}^2，使用的结构元素B为一以原点为中心的3x3方形。
待处理影像为二维类比影像 A\in E=\mathbb{R}^2，使用的结构元素B为一以原点为中心的十字形，或写作B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}。

基础运算子
二值形态学的基础运算子为具平移对称性的、与闵可夫斯基和直接相关的运算子。基础运算子包含膨胀、腐蚀，以及由前两者组合而成的开运算、闭运算。

膨胀
膨胀(Dilation)的定义为「位於某个点的探针(结构元素)是否有探测到物件？」一个影像A经过结构元素B膨胀後的结果可写为：

::A \oplus B = \{ x | B_x \cap A \ne \empty \}.

其中B_x = \{ x+b | b \in B \}，代表结构元素平移x後的点集合，b是图像B的元素的坐标。

另外也可写为：

::A \oplus B = \bigcup_{b\in B} A_{-b}.

同上，其中A_{-b}是指二值影像A经过平移-b後新的点集合。

腐蚀
腐蚀(Erosion)的定义为「位於某个点的探针(结构元素)是否全都有探测到物件？」一个影像A经过结构元素B腐蚀後的结果可写为：

::A \ominus B = \{ x | B_x \subseteq A \} = \bigcap_{b\in B} A_{-b}.

开运算、闭运算
开运算(Opening)与闭运算(Closing)是使用相同结构函数的腐蚀与膨胀的组合：

开运算为先腐蚀再膨胀，
::A \circ B = (A \ominus B) \oplus B .

闭运算为先膨胀再腐蚀
::A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B .

基础运算子的性质

所有的运算子具有
所有的运算子都是递增的，例：如果 A\subseteq C，则 A\oplus B \subseteq C\oplus B 且 A\ominus B \subseteq C\ominus B
膨胀具有交换律，例：A\oplus B = B\oplus A
膨胀具有结合律，例：(A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)；另外腐蚀则为 (A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)
如果B包含原点(0,0)，则有 A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B
膨胀与腐蚀间的关系为：A \oplus B = (A^{c} \ominus B^{s})^{c}，上标^{c}代表补集，上标^{s}代表对原点的点对称集合。
开运算与闭运算间的关系为：A \bullet B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}
膨胀对联集有分配律，例：A\oplus (B\cup C) = (A\oplus B)\cup (A\oplus C)；腐蚀对交集有分配律，例：A\ominus (B\cap C) = (A\ominus B)\cap (A\ominus C)
膨胀与腐蚀为彼此的广义逆运算：A\subseteq (C\ominus B) 若且为若 (A\oplus B)\subseteq C
开运算与闭运算是冪等的： (A\bullet B)\bullet B = A\bullet B

历史
数学形态学诞生于1964年，由当时国立巴黎高等矿业学校的马瑟荣（G. Matheron）和赛拉（J. Serra）两人共同奠定了其理论基础。1968年4月法国枫丹白露数学形态学研究中心成立，巴黎矿业学院为中心提供了研究基地。

20世纪数学形态学的发展过程可大致分为：
*60年代的孕育和形成期
*70年代的充实和发展期
*80年代的成熟和对外开放期
*90年代至今的扩展期