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截角二十面體

Wikipedia · 2026-06-12 维基百科 👁 0 阅读

{{Infobox polyhedron
| name = 截角二十面體
| polyhedron = 截角二十面體
| imagename = Truncatedicosahedron.svg
| rotating = Truncatedicosahedron.gif
| rinfo = （-{zh-hant:點選檢視旋轉模型;zh-hans:点此查看旋转模型;}-）
| Type = 阿基米德立體
半正多面體
戈德堡多面體
| Coxeter_diagram =
| Face = 32
| Edge = 90
| Vertice = 60
| Face_type = 正五邊形
正六邊形
| Vertice_type = 5.6.6
| Schläfli = t{3,5}
t0,1{3,5}
| Wythoff = 2 5 | 3
| Face_configuration = 12{5}+20{6}
| Conway = tI
| Symmetry_group = , H3, [5,3], (*532), order 120
| Index_references = U25, C27, W9
| Rotation_group = , [5,3]+, (532), order 60
| Dihedral_angle = 6-6: 138.189685°
6-5: 142.62085°
| Properties = 半正、凸
| 3d_image = Truncated_icosahedron.png
| vfigimage = Truncated_icosahedron_vertfig.svg
| dual_image = Pentakisdodecahedron.jpg
| net_image = Truncated_icosahedron_flat-2.svg
}}
在幾何學中，截角二十面體是一種由12個正五邊形和20個正六邊形所組成的凸半正多面體，同時具有每個三面角等角和每條邊等長的性質，因此屬於阿基米德立體，雖然阿基米德被認為是最早想出十三種阿基米德立體的學者，這十三種立體中也包括了截角二十面體，但並未留下明確直接提及此形狀的文獻記錄。阿尔布雷希特·丢勒也重現了一個類似截角二十面體的多面體，包含12個五角形和20個六角形面，但是沒有明確的文獻記錄，不過部分文獻認為這是最早的截角二十面體圖像，不過這個時候還沒有「截角」的概念。直到了16、17世紀時，约翰内斯·开普勒才引入了「截角」的概念

性質
截角二十面體是一種半正多面體，由五邊形和六邊形組成，每個頂點都是兩個六邊形和一個五邊形的公共頂點，在頂點圖中可計為5.6.6，因此具有點可遞的性質。由於其可以藉由正二十面體透過截角變換，變換而成，因此稱為截角二十面體。由於此原因，截角二十面體在施萊夫利符號中可以用t來表示，其中，t表示截角變換，表示正二十面體（每個頂點都是五個三角形的公共頂點）。。它由12個正五邊形面、20個正六邊形面、60個頂點和90個邊構成。由於包含了正五邊形和六邊形面因此也是一種戈德堡多面体，在戈德堡符號中可用GPV(1,1) 或 1,1表示。而1983年時，溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多多面體模型，其中也收錄了此種形狀，並給予編號W9。

組成
截角二十面體共有90條棱和60個頂點，正二十面體是由20個正三角形組成。把正二十面體的棱做三等分，則20個正三角形的面就得到了20個正六邊形；同時把正二十面體的所有12個頂點削去，則每個頂點由上述三等分點形成的正五邊形代替。由於正二十面體有20個正三角形的面，30條棱。每條棱做三等分則有2個分割點，由此削去正二十面體所有12個頂點後得到的截角二十面體有60個頂點。，由2個六邊形和一個五邊形組成，換句話說，即每個頂點都是2個六邊形和一個五邊形的公共頂點，其頂點圖可以計為5.6.6。另外，在這個結構中，五邊形面彼此不相鄰。

尺寸
可以看出構成截角二十面體表面的所有形狀，只要將這些形狀的面積加總即可求得截角二十面體的表面積。]]
若以a表示棱長，則截角二十面體的外接球半徑為：
:{a\over2}\sqrt{9\phi+10} \approx 2.4780~a
關於截角二十面體的體積，由於截角二十面體已知可以透過切去正二十面體的十二個頂點來構造，並且已知目標立體為等邊多面體，因此可以知道被切下來的12個錐體是等邊正五角錐。所以截角二十面體的體積可以透過正二十面體的體積減去12個錐體是等邊正五角錐來計算
:(0, ±1, ±3φ)
:(±1, ±(2 + φ), ±2φ)
:(±2, ±(1 + 2φ), ±φ)
其中φ = (1+√5)/2，黃金分割數；此時稜長為 2，外接球半徑為 \sqrt{9\phi+10}。

二面角
截角二十面體有兩種二面角，一個為兩個六邊形的交角，另一個為五邊形與六邊形的交角：
:其中，兩個六邊形的交角為:
::\arccos{\frac{-\sqrt{5}}{3}} \approx 138.18968510^\circ。

球面鑲嵌
截角二十面體也可以表示為球面鑲嵌，並通過球極投影，投影到平面上。 這個投影是一個等角投影，雖然長度發生改變，但保留了角度資訊。 球面鑲嵌上的直線投影到了平面後成為了弧線。其結果與足球十分相似。

應用
截角二十面體在日常生活，這種分子於1985年被發現，其直徑約為0.71奈米，由60個碳原子組成，且每個碳原子正好位於截角二十面體的頂點上。這種形狀也用於核子武器中，聚焦雷管的爆炸衝擊波用的，並配置於三位一體和胖子等原子彈中。
截角二十面體的一種變體也曾用於由聚合材料製成的窩狀車輪胎框的基礎，其使用了富勒的網格球頂的部分幾何結構（截角二十面體的局部），其被龐蒂克汽車部門在1971年至1976年間用於Trans Am和Grand Prix中。此外，由於這個幾何結構與建築學家巴克明斯特·富勒設計的1967年世界博覽會美國館時分相似，為了表達對他的敬意，有時會將其稱為「巴克球」（buckyball）。

在文化中
截角二十面體的球面鑲嵌被運用在足球和手球的形狀上。這些球類運動所使用的球體皆包含了相同的正五邊形和正六邊形圖案，但由於運動用球內部通常會充氣，使得空氣的壓力令球具有彈性、更加接近球體。足球的模樣自1970年墨西哥世界杯之后为截角二十面體。

在藝術中
截角二十面體出現於列奥纳多·达·芬奇繪製於卢卡·帕西奥利的著作《Divina proportione》中的插圖。

File:Comparison of truncated icosahedron and soccer ball.png|截角二十面體（左）與足球
File:Buckminsterfullerene Model in Red Beads.jpg|富勒烯 C60 分子模型
File:Peter Stehlik 2010.08.03 003.jpg|外型為截角二十面體的氣象雷達
File:Truncated icosahedron by Sean Journot.jpg|用6061-T6鋁加工而成的截角二十面體
File:Truncated icosahedron cherry model by George W. Hart.jpg|的截角二十面體木頭模型。
File:Truncated icosahedron sparkleball.jpg|與截角二十面體對應的球面鑲嵌（截角五階三角形鑲嵌）設計的

相關多面體與鑲嵌
截角二十面體是正二十面體經過截角變換後的結果

|}
在雙曲空間中，過截角五階十二面體堆砌（Truncated order-5 dodecahedral honeycomb）由截角二十面體獨立堆砌而成，在考克斯特記號中，計為，其頂點圖為鍥形體。
:
在四維空間中，部份多胞體含有截角二十面體形狀的胞，例如大斜方六百胞體（Great rhombated hexacosichoron或稱Cantitruncated 600-cell）和過截角一百二十胞體（Bitruncated 120-cell）。。而過截角一百二十胞體共由720個胞、4320個面、7200條邊和3600個頂點所組成，在其720個胞中有120個截角二十面體和600個截角四面體。

截角二十面體圖
在圖論的數學領域中，截角二十面體圖是阿基米得立體中截角二十面體之，其有時被稱為巴克明斯特富勒圖。共有60個頂點和90條稜，且是的。

參見

  • 正十二面體
  • 电视之星

參考文獻
;參考書目

(Section 3-9)

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外部連結
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#半正多面體 #阿基米德立體 #均勻多面體 #康威多面體

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