三叶结

在纽结理论中，三叶结（trefoil knot）31是一种最简单的非平凡纽结。可以用反手結连接两个末端而达成。它是唯一一种有3个交叉的纽结。它也可以描述为 (2,3)-环面纽结。由於三葉結的結構極為簡單，它是研究紐結理論很重要的基本案例，在拓撲學、幾何學、物理學、化學領域，有廣泛的用途。

三叶结得名于植物三叶草。

描述
三叶结可以由以下的参数方程确定：
:x = \sin t + 2 \sin 2t
:\qquad y=\cos t - 2 \cos 2t
:\qquad z=-\sin 3t
三叶结也可以看作(2,3)-环面纽结。对应的参数方程为：
:x = (2+\cos 3t)\cos 2t
:\qquad y=(2+\cos 3t )\sin 2t
:\qquad z=\sin 3t
与它们同痕的纽结还是三叶结。它们的镜像也称为三叶结。

三叶结还可以定义为\mathbb{C}^2中三维球面|z|^2+|w|^2=1 和曲线z^2+w^3=0的交。

性质
三叶结是最简单的非平凡纽结。它是一个素纽结，也是交错纽结。

三叶结有两个版本，它们互成镜像，彼此不相同痕，分别称为左手三叶结和右手三叶结。

它的亚历山大多项式是：
:\Delta(t) = t - 1 + t^{-1}
康威多项式是：
:\nabla(z) = z^2 + 1
琼斯多项式是：
:V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}

Kauffman多项式是：

L(a, z) = za^5 + z^2a^4 - a^4 + za^3 + z^2a^2 - 2a^2

HOMFLY多项式是：

:P(a, z) = - a^4 + a^2 z^2 + 2 a^2

它的纽结群具有下述表示：
:\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle

或：

\langle \sigma_1,\sigma_2 \mid \sigma_1\sigma_2\sigma_1 = \sigma_2\sigma_1\sigma_2 \rangle

这和三股辫群是同构的。

使用三葉結設計的圖案
三叶结在1989年至2007年被用作香港亞洲電視的台徽。

國際羊毛局的純羊毛標誌是一束結為三葉結的毛線。

莫里茨·科内利斯·埃舍尔：

参见

• 莫比乌斯带
• 克莱因瓶

参考文献