純態

（1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為\begin{bmatrix}
0.5 & 0 \\
0 & 0.5 \\
\end{bmatrix}
。通過垂直平面偏振器（3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}
。]]
純態（pure state）這個名詞出現在幾個領域，包括物理方面的量子力學以及數學方面的泛函分析理論。

量子力學
在量子力學當中，純態由一個相同統計系綜(ensemble)所構成，而相對於純態的混態(mixed state)則可以分解兩個以上的系綜。在量子力學中有諸多表示型(formalism)，一個量子態可由密度矩陣或稱密度算符表示，區分純態和混態的方法即可由此得之。純態S可用狄拉克符号的右括向量表示：
:S = | \Psi \rangle
或寫成密度矩陣表示型則為：
:S = \rho = | \Psi \rangle \langle \Psi |
给定的量子态对应不同的右矢（相差一个相位），| \Psi' \rangle = e^{i \phi} | \Psi \rangle ，但对应唯一的密度矩阵\rho ，从这个角度说，密度矩阵表示更为经济。由此推广，可以用密度矩阵表示定义更一般的态，
:S = \rho = \sum_{i=1}^N c_i | \Psi_i \rangle \langle \Psi_i |
其中，\{ | \Psi_i \rangle \}是一组（不一定互相正交的）纯态，且0 并满足\displaystyle {\textstyle \sum_i} c_i = 1。注意数N并不受希尔伯特空间维数的限制。

混态
对于密度矩阵\rho表述的量子态，若其不能写作纯态的密度矩阵（其中N=1且c_1=1），则称作混态。

區分純態與混態
區分純態與混態的方法要利用到tr(\rho) \,。tr(\rho) \,表示對矩陣\rho \,取對角線元素和(trace)，將純態和混態做歸一化動作，使得tr(\rho) \,之值皆會是1。

而兩者不同處在於tr(\rho^2) \,：歸一化過的純態tr(\rho^2)=tr(\rho)=1 \,，而歸一化過的混態則tr(\rho^2)，和tr(\rho)=1 \,不同，由此得以辨別出純態與混態。

舉例
\rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}為純態，\rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}為混態

:\Rightarrow tr(\rho_1)=tr(\rho_2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\rho_1^2 = \rho_1 * \rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}；
\rho_2^2 = \rho_2 * \rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}。

:\Rightarrow tr(\rho_1^2)=tr(\rho_1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1；tr(\rho_2^2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \ne tr(\rho_2) = 1

量子退相干現象的過程中，與環境的相互作用會讓密度矩陣的非對角線元素(off-diagonal elements)隨時間衰減到0。也就是說在這個例子，隨著時間t \,逐漸增加，原本純態，
:\rho_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{T_2}} \\ \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{T_2}} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \Rightarrow \rho_1(t=0) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}
演化为混态，
: \overset{t \rightarrow \infty}{\to} \rho_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

泛函分析
參閱
*密度矩阵

參考资料