单位向量

数学上，赋范向量空间中的单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”，如：\mathbf{\hat{i}} 。欧几里得空间中，两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦（因为它们的长度都是1）。

一个非零向量 \mathbf{u} 的正规化向量 \mathbf{\hat{u}} 就是平行于 \mathbf{u} 的单位向量：

:\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}

这里 \|\mathbf{u}\| 是 \mathbf{u} 的范数（长度）。正规化向量有时候也可以当作单位向量的同义词。

一组基的元素通常被选为单位向量。在三维直角坐标系中，通常是 \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}，分别为沿着 x, y, z 方向的单位向量：

:\mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

在其他坐标系中，如极坐标系、球坐标系，使用不同的单位向量，符号也会不一样。

參考文獻