鸡兔同笼

鸡兔同笼问题是中国古代一道算术问题，最早可以追溯至南北朝时期的數學著作《孙子算经》，属于一次方程组问题。

雞兔同笼
鸡兔同笼类似的问题第一次出现是在《孙子算经》的下卷中的一道算题：

用现代汉语表示，就是：「现在笼子里有鸡（雉）和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少-{zh-cn:只;zh-tw:隻;}-鸡、多少-{zh-cn:只;zh-tw:隻;}-兔子？」

在同一本书中也记载了解法：

也就是说，将脚的总数九十四除以二得到四十七，然后减去头数三十五就得到兔子的数目，然后自然可以得到鸡的数目。

原理
《孙子算经》中的解法思路是：首先将所有动物的脚数除以二，这样每只鸡将仅有一只脚，每只兔子将仅有两只脚。这样，鸡的脚数和头数一样，而每只兔的脚数比头数多一。如果所有的动物都是鸡的话，那么将仅有三十五-{zh-cn:只;zh-tw:隻;}-脚了，但事实上有四十七只脚。而每将一只鸡换成一只兔子的话，就会使得脚的数目增加一。于是用四十七减去三十五，就可以知道有多少只鸡被换成了兔子（也就是兔子的数目）。答案是十二只。

假设法：35头说明鸡和兔共35只，假设35只全为鸡，则应有(35×2)=70只足，实则94只足，还差94-70=24只足，兔子4只足，鸡2只足，一只鸡换成一只兔子可以补上2只足，现需补上24只足，也就是需鸡换兔24÷2=12只，-{zh-cn:只;zh-tw:隻;}-数不变，足补齐94只，即兔子12只，鸡23只，实际上这其实是二元一次联立方程式用消元求法求X的方法。

以代數方式計算
總數為兔子（x）和雞（y）的頭數相加共35隻。

\begin{align}
\text{Total}&=\left\vert{}x\right\vert+\left\vert{}y\right\vert \\
&=35
\end{align}

一隻兔子比一隻雞多兩隻腳：

\begin{align}
\Delta_{\text{Single }x\text{ feet than }y\text{ feet}}&=\text{feet}_x-\text{feet}_y \\
&=4-2 \\
&=2
\end{align}

若全部是雞的話，極限會有70隻腳。

\begin{align}
\Sigma_{i=1}^{35}\text{feet}_y&=2\times{}35 \\
&=70
\end{align}

事實上多出了24隻兔腳。

\begin{align}
\Delta_{\text{Total feet than max }y\text{ feet}}&=\Sigma_{i=1}^{35}\text{feet}-\Sigma_{i=1}^{35}\text{feet}_y \\
&=94-70 \\
&=24
\end{align}

24隻兔腳代表其中有12隻雞是兔子偽裝的，所以兔子是12隻。

\begin{align}
x&=\frac{\Delta_{\text{Total feet than max }y\text{ feet}}}{\Delta_{\text{Single }x\text{ feet than }y\text{ feet}}} \\
&=\frac{24}{2} \\
&=12
\end{align}

兔子有12隻，那雞就有23隻。

\begin{align}
y&=\text{Total}-x \\
&=35-12 \\
&=23
\end{align}

参考来源
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