分数微积分

数学上，分數微積分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子D= \frac{d}{dx}和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。

在这个上下文中，幂指反复应用，和
:\, f^2 (x) = f(f(x))
中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题
:\sqrt{D}=D^{\frac{1}{2}}
作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的，
:D^n
对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当nn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。

歷史緣由
在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

试探法
一个很自然的想法是问，是否存在一个算子H起到半导数的作用，即使得：

::H^{2}f (x)=Df (x)=\frac{d}{dx}f (x)=f'(x)

结论是：这样的算子是存在的，对于任意a > 0,存在一个算子P,满足：

::(P ^ a f)(x) = f'(x) ，

或者换一个说法, \dfrac{d^ny}{dx^n}的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函數将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函數的定义如下：
::n! = \Gamma(n+1) ，

假设对函数f (x) ( x > 0 )在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J:
::(J f )( x ) = \int_0^x f (t) \; dt

重复这个过程，可得：
::(J^2 f)(x) = \int_0^x ( J f )(t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt,
这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式，即：
::(J^{n} f)(x) = \frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f (t) \; dt
我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用\Gamma函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式
::(J^{\alpha}f)(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}f (t)\; dt

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系
::(J^{\alpha})(J^{\beta})f=(J^{\beta})(J^{\alpha})f=(J^{\alpha+\beta})f=\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}\int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1}f (t) \; dt

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

分数微分在一个简单函数上的应用
（α=−1: y=x2/2，紫色）及一般的一次微分（α=+1: y=1，紅色）間連續變化。]]
假设有一个函数
: f (x)=x^k\;。它的一阶导数一般是：
:: f'(x)=\dfrac{d}{dx}f (x)=k x^{k-1}\;。重复这一过程，得到更一般的结果：
:: \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;，将阶乘用伽玛函数替换，可得：
:: \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\;。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数x的半导数：
:: \dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2}+1)}x^{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1!}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{\frac{1}{2}} =
\dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}。重复这一过程，得：
::\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}2 \pi^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma (1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1，这正是期望的结果：
:: \left(\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1。

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子，(1+i)阶导数作用后，(1-i)阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果（当0）。
::D^{\alpha}f (x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f (t)}{(x-t)^{\alpha}}dt

对于任意的\alpha,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如
::D^{\frac{3}{2}}f (x)=D^{\frac{1}{2}}D^{1}f (x)=D^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}f (x)

拉普拉斯變換
我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知

\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)

以及

\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s\bigl(\mathcal L \left\{Jf\right\} \bigr)(s)=\frac1{s^2}\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)

然後繼續下去，我們可以推斷:

J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)(s)\right\}

舉例來說:

J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k}

如同預期一樣。的確，我們給出捲積性質。

\mathcal L\{f*g\}=\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{g\}\bigr)

然後為了方便，令，我們發現到:

\begin{align}
\left(J^\alpha f\right)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\bigl(\mathcal L\{p\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\right\}\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\left(t-\tau\right)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\
\end{align}

即得到柯西所給出的樣子。

拉普拉斯在一些較少的函數上有效，但是它在解分數微分方程上卻非常有用。

分數階積分
分數階微分
应用
WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量H=p^{2}+V (x)中V (x)的倒数V^{-1}(x)可由对态密度的半阶微分求出
::V^{-1}(x)=2\sqrt{\pi}\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}n (x)
这里采用了自然单位制，即\hbar=2m=1

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