二項式係數

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在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數n和k為參數決定，寫作 \tbinom nk ，定義為 (1+x)^n的多項式展開式中，x^k項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 \binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots ,\binom{n}{n}寫成一行，再依照 n=0,1,2,\dots順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。

二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，\tbinom nk可以被理解為從n個相異元素中取出k個元素的方法數，所以 \tbinom nk大多讀作「n取k」。二項式係數 \tbinom nk的定義可以推廣至n是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。

歷史及記號
雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表達式 \tbinom nk卻是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 寫的印度教典籍《宾伽罗的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》 中給出一個簡單的描述。

二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括：C(n,k)、_n C_k、^n C_k、C^{k}_{n}、C^{n}_{k}，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 P_k^n，例如寫作 P(n, k)。

定義及概念
對於非負整数n和k，二項式係數\tbinom nk定義為(1+x)^n的多項式展開式(又稱為二項式係數的生成函數)中，x^k項的係數，即

:(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^k= \binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\cdots+\binom{n}{n}x^n

事實上，若x、y為交換環上的元素，則

:(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k

此數的另一出處在組合數學，表達了從n物中，不計較次序取k物有多少方式，亦即從一n元素集合中所能組成k元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪(1+X)^n的n個因數逐一標記為i（從1至n），則任一k元素子集則建構成展式中的一個X^k項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數n和k而言，\tbinom nk亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由n個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為k的數目為\tbinom nk，又如算式k=a_1+a_2+\cdots+a_n，其中每一a_i均為非負整數，則有\tbinom{n+k-1}k種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算k個元素的組合的數量。

計算二項式係數
除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算\tbinom nk的值。

遞歸公式
以下遞歸公式可計算二項式係數：

: \binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k \quad \forall n,k\in\N

其中特別指定：

:\binom n0 = 1 \quad \forall n\in\N\cup\{0\},
:\binom 0k = 0 \quad \forall k\in\N.

此公式可由計算(1+x)^{n-1}(1+x)中的x^k項，或點算集合\left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}的k個元素組合中包含n與不包含n的數量得出。

顯然，如果k>n，則\tbinom nk=0。而且對所有n，\tbinom nn=1，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。

乘數公式
個別二項式係數可用以下公式計算：

:\binom nk = \frac{n^{\underline k}}{k!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots[n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}=\prod_{i=1}^k \frac{n-(k-i)}{i},

上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從n個元素中取出k個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的k個元素可有多少種排序方式。

階乘公式
二項式係數最簡潔的表達式是階乘:

: \binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad \mbox{for }\ 0\leq k\leq n.

其中「n!」是n的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以(n-k)!取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：

{{NumBlk|:| \binom nk = \binom n{n-k} \quad \mbox{for }\ 0\leq k\leq n.|}}

一般化形式及其與二項式級數的關係
若將n換成任意數值（負數、實數或複數）\alpha，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展：

:\binom \alpha k = \frac{\alpha^{\underline k}}{k!} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}
\quad\mbox{for } k\in\N \mbox{ and arbitrary } \alpha.

此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故\tbinom\alpha k仍能相稱地稱作二項式係數：

{{NumBlk|:| (1+X)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} X^k.|}}

此公式對任何複數\alpha及X，\left \vert X \right \vert 時成立，故此亦可視作X的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如

:(1+X)^\alpha(1+X)^\beta=(1+X)^{\alpha+\beta} \quad\mbox{and}\quad ((1+X)^\alpha)^\beta=(1+X)^{\alpha\beta}.

若\alpha是一非負整數n，則所有k>n的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於\alpha的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。

帕斯卡三角形 (楊輝三角)
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帕斯卡法則是一重要的遞歸等式：
{{NumBlk|:| {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1},|}}
此式可以用於數學歸納法，以証明 \tbinom n k對於所有n和k均為自然數（等同於証明k!為所有k個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。

帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:
:

第n橫行列出 \tbinom n k的k=0,\ldots ,n項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出

:(x+y)^5=\boldsymbol{1}x^5+\boldsymbol{5}x^4 y+\boldsymbol{10}x^3 y^2+\boldsymbol{10}x^2 y^3+\boldsymbol{5}xy^4+\boldsymbol{1}y^5

在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式()的延伸意義。

組合數學和統計學
二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如

• 共有\tbinom n k種方式從n元素中選取k項。見組合。
• 共有\tbinom {n+k-1}k種方式從一個n元素集合中選取（容許重覆選取）k元素建立多重集。
• 共有 \tbinom {n+k} k個字符串包含k個1和n個零。
• 共有 \tbinom {n+1} k個字符串包含k個1和n個零，且沒有兩個1相鄰。
• 卡塔蘭數是\frac {\tbinom{2n}n}{n+1}
• 統計學中的二項式分佈是\tbinom n k p^k (1-p)^{n-k} \!
• 貝茲曲線的公式。

以多項式表達二項式係數
就任就非負整數k，\scriptstyle{\binom{t}{k}}可表達為一多項式除以k!：

:\binom{t}{k} =\frac{(t)_k}{k!}=\frac{(t)_k}{(k)_k}= \frac{t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots(2)(1)};\,\!

此為帶有理數係數，變量是t的多項式，可對任意實數或複數t運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。

就任意k，多項式\tbinom{t}{k}可看成是惟一的k次多項式p(t)滿足p(0)=p(1)=\ldots=p(k-1)=0及p(k)=1.

其係數可以第一類斯特靈數表示，即：
:\binom{t}{k} = \sum_{i=0}^k \frac{s_{k,i}}{k!} t^i
\tbinom{t}{k}之導數可以對數微分計算：
:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \binom{t}{k} = \binom{t}{k} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{t-i}\,.

以二項式係數為多項式空間之基底
在任何包含Q的域中，最多d階的多項式有惟一的線性組合\sum_{k=0}^d a_k \binom{t}{k}。係數a_k是數列p(0), p(1), \ldots , p(k)的第k差分，亦即：

{{NumBlk|:|a_k = \sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} \binom{k}{i} p(i).|}}

整數值多項式
每一多項式\tbinom{t}{k}在整數參數時均是整數值（可在k上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，()表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域k的任何子環R，在K[t]內的多項式在整數參數時之值均在R內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的R-線性組合。

整數值多項式\frac{3t(3t+1)}{2}可表達作：
:9\tbinom{t}{2} + 6 \tbinom{t}{1} + 0\tbinom{t}{0}

从t=1,2,3时\frac{3t(3t+1)}{2}=6,21,45用帕斯卡矩阵的逆可算出：

:\begin{pmatrix} \tbinom{t-1}{0} & \tbinom{t-1}{1} & \tbinom{t-1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\-1 & 1 & 0\\1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 21 \\ 45 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tbinom{t-1}{0} & \tbinom{t-1}{1} & \tbinom{t-1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \\ 9 \end{pmatrix}

:=6\tbinom{t-1}{0} + 15\tbinom{t-1}{1} + 9\tbinom{t-1}{2}=6\tbinom{t}{1} + 9\tbinom{t}{2}

这种二項式係數多項式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。

有關二項式係數的恆等式
关系式
階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在k是正整數時，對任意n有：

• \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}
• \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}
• \binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-2k}{n} \binom{n}{k}.

两个组合数相乘可作变换：
:\binom ni \binom im=\binom nm \binom {n-m}{i-m}

一阶求和公式

• \sum_{r=0}^n \binom nr = 2^{n}
• \sum_{r=0}^k \binom {n+r-1}r = \binom {n+k}k
• \sum_{r=0}^{n-k} \frac {(-1)^r (n+1)}{k+r+1} \binom {n-k}r = \binom nk^{-1}
• \sum_{r=0}^n \binom {dn}{dr}=\frac{1}{d}\sum_{r=1}^d (1+e^{\frac{2 \pi r i}{d}})^{dn}

:* \sum_{i=m}^n \binom {a+i}{i} = \binom {a+n+1}{n} - \binom {a+m}{m-1}
: \binom {a+m}{m-1} + \binom {a+m}{m} + \binom {a+m+1}{m+1} + ... + \binom {a+n}{n} = \binom {a+n+1}{n}

• F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}

: F_{n-1}+F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-1-i}{i}+\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i-1}+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=F_{n+1}

• \sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1}

: \binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1}

二阶求和公式

• \sum_{r=0}^n {\binom nr}^2 = \binom {2n}n

:* \sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}=\binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1}

:(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(1-x)^{-r_1-r_2}

:(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+n-1}{r_1-1} x^n)(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_2+n-1}{r_2-1} x^n)=\sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}) x^n

:(1-x)^{-r_1-r_2}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1} x^n

• \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\binom {n+m}k

三阶求和公式
*{\binom {n+k}k}^2=\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}

備註
參考文獻

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer (2003). [https://www.maa.org/EbusPPRO/Bookstore/ProductDetail/tabid/170/Default.aspx?ProductId=675 Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof ], Mathematical Association of America.

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参见
*组合

外部連結
*[https://web.archive.org/web/20110718193048/http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/komb.php?language=english Calculation of Binomial Coefficient]
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