拿破崙問題（）是著名的圓規作圖問題，原題如下：
給定一圓和其圓心，只用圓規將此圓四等分。（此圓指的是圓周而不是圓面積）
此題目是由義大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。
1672年，證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖，但此證明直到1928年才被發現。
找出圓心
作法
#在已知的圓 C上找任意一點 A，以任意半徑畫弧 {\color{Red}C_1}（必須和圓C有交點，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圓C於 B'、B 兩點。
#分别以B'、B為圓心， \overline{B'A} 、\overline{BA} 為半徑，畫兩条弧 {\color{Green}C_2}，兩弧线相交於 A 点和 C 點。
#再以 C 点為圓心、 \overline{CA}為半徑，畫弧 {\color{RawSienna}C_3} ，交弧{\color{Red}C_1}於 D'、D兩點。
#以D'、D為圓心， \overline{D'A} 、\overline{DA} 為半徑，畫兩条弧 {\color{blue}C_4} ，兩弧线相交於A点和O点。（O点即圓C的圓心）
證明
設圓C_1的半徑為a，圓C_3的半徑為b，我們知道：
:a = \overline{AB} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{OD}
:b = \overline{AC} = \overline{DC}
因為\triangle ADC \thicksim \triangle AOD，所以\overline{AO}=\frac{a^2}{b}
由於\overline{AO}:\overline{AB} = a:b = \overline{AB}:\overline{AC}，可以得出\triangle ABC \thicksim \triangle AOB
根據對稱性，\overline{AO}通過圓心，又\overline{AO} = \overline{OB}，所以O是圓C的圓心。
四等分圓
作法
由前面我們已經知道圓心的位置
#在已知的圓上找任意一點 X，以\overline{XO}為半徑畫弧 {\color{Red}C_1}，交圓於 V、Y 兩點。
#以 Y 為圓心，\overline{YO}為半徑畫弧 {\color{Red}C_2}，交圓於 Z 点（和 X 點）。
#（继续分别以 Z、V 為圓心，\overline{ZO}、\overline{VO} 為半徑畫弧，即可將圓六等分，）V、X、Y、Z 為四个六等分點（如圖）。
#以 V 為圓心，\overline{VY}為半徑畫弧 {\color{blue}C_3}；以 Z 為圓心，\overline{ZX}為半徑畫弧 {\color{blue}C_4}，兩弧交於 T 點。
#以 Z 為圓心，取\overline{OT}的长度 {\color{Green}D} 為半徑畫弧 {\color{Green}C_5}，交圓於 U、W 兩點。
#V、W、Z、U 四點將圓四等分。
證明
設圓的半徑為a，容易得出\overline{OV}、\overline{OX}、\overline{OY}、\overline{OZ}、\overline{VX}、\overline{XY}、\overline{YZ}的長度都是a，可以得出\overline{VY} = \overline{VT} = \sqrt{3}a，根據畢氏定理可以得出\overline{OT} = \sqrt{\overline{VT}^2-\overline{VO}^2} = \sqrt{2}a，因此V、W、Z、U四點將圓四等分。
參見
*拿破崙定理
*尺規作圖
*圓規作圖
註解
參考資料
*[http://mathworld.wolfram.com/NapoleonsProblem.html Napoleon's Problem] MathWorld
*[https://web.archive.org/web/20041026085501/http://www.chhs.tp.edu.tw/teacher/083/mathweb/problem/problem-newpon.htm 拿破崙分圓]
评论 (0)