電磁波方程式

在電磁學裏，電磁波方程式（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階。這方程式的形式，以電場\mathbf{E}\,\!和磁場\mathbf{B}\,\!來表達為
:\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0\,\!、
:\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0\,\!；

其中，\nabla^2\,\!是拉普拉斯算符，c\,\!是電磁波在真空或介質中傳播的速度，t\,\!是時間。

由於光波就是電磁波，c\,\!也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏，c=c_0=299,792,458\,\! ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。

歷史
在詹姆斯·麦克斯韦的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，麦克斯韦將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說
：

理論推導
在真空裏，麦克斯韦方程組的四個微分方程式為
:\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\,\!、(1)
: \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!、(2)
: \nabla \cdot \mathbf{B} = 0\,\!、(3)
: \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!；(4)

其中，\mu_0\,\!是真空磁導率，\varepsilon_0\,\!是真空電容率。

分別取公式(2)、(4)的旋度，
: \nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} } {\partial t^2} \,\!、
: \nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} \,\!。

應用一則向量恆等式（這裏，\nabla^2 \mathbf{V}應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）
:\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{V} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{V} \right) - \nabla^2 \mathbf{V}\,\!；

其中， \mathbf{V} \,\!是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式：
:\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0\,\!、(5)
:\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0\,\!；(6)

其中，c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 \,\! ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

齊次的波動方程式的協變形式
電磁四維勢 A^{\mu}\,\!是由電勢\phi \,\!與向量勢\mathbf{A}\,\!共同形成的，定義為
: A^{\mu}\ \stackrel{def}{=}\ ( \phi /c,\, \mathbf{A}) \,\!。

採用勞侖次規範：
:\frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\mu}} = 0\,\!。

前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為
:\ \Box A^{\mu} = 0\,\!；

其中，\Box=\partial^\nu\partial_\nu=\frac{\partial^2 }{\partial x_{\nu}\partial x^{\nu}}= \frac{ 1}{{c}^2 }{\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 \,\!是達朗貝爾算子，又稱為四維拉普拉斯算子。

彎曲時空中的齊次的波動方程式
齊次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正，分别是將偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为
: {A^{\mu}}_{ ; \mu}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\mu}}= 0 \,\!。

那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為
: - {A^{\alpha ; \beta}}_{ \beta} + {R^{\alpha}}_{\beta} A^{\beta} =0\,\!；

其中， {R^{\alpha}}_{\beta}\,\!是里奇曲率张量。

非齊次的電磁波方程式
追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。

波動方程式的解
在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式
: \frac{ 1}{{c}^2 }{\partial^2 f \over \partial t^2} - \nabla^2 f\ = \ 0\,\!；(7)

其中，f\,\!是任意良態函數，

純量波動方程式的一般解的形式為
:f(\mathbf{r},t) = g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!；

其中，g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!是任意良態函數，\mathbf{r}\,\!是位置向量，t\,\!是時間，\mathbf{k}\,\!是波向量，\omega\,\!是角頻率。

函數g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!描述一個波動，隨著時間的演化，朝著\mathbf{k}\,\!的方向傳播於空間。將函數g(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)\,\!代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係：
:\omega^2=c^2 k^2\,\!，

或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：
:\omega=c |k|\,\!。

正弦波
和餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。]]
假設，函數g\,\!的波形為正弦波：
:f= f_0 \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)\,\!；

其中，{f}_0\,\!是實值波幅，\phi_0\,\!是初相位。

根據歐拉公式，
:e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\,\!，

函數f\,\!也可以表達為一個複數的實值部分
:f=\operatorname{Re}\{f_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)}\}\,\!。

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數\tilde{f}\,\!為
:\tilde{f}=f_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t+ \phi_0)}=\tilde{f}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\,\!；

其中，\tilde{f}_0=f_0 e^{i \phi_0}\,\!是複值波幅。

那麼，
:f=\operatorname{Re}\{\tilde{f}\}\,\!；

純量波動方程式的正弦波解的形式為\tilde{f}\,\!的實值部分。任意涉及實函數f\,\!的線性方程式，都可以用複函數\tilde{f}\,\!來代替f\,\!。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

線性疊加
任意波動f(\mathbf{r},t)\,\!可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：
:f(\mathbf{r},t) = \int^{\infty}_0 \tilde{f}_0(\mathbf{r},\omega) e^{ - i\omega t}\ d\omega\,\!。

所以，只要能得知單獨頻率的波動\tilde{f}_0(\mathbf{r},\omega) \,\!（單色波）的表達式，就可以求算整個波動f(\mathbf{r},t)\,\!的表達式。

齊次的電磁波方程式的解
單色正弦平面波的解
從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：
: \tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\tilde{\mathbf{E}}_0 e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \,\!、
: \tilde{\mathbf{B}}(\mathbf{r},t) =\tilde{\mathbf{B}}_0 e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \,\!；

其中，\tilde{\mathbf{E}}_0\,\!、\tilde{\mathbf{B}}_0\,\!分別為複值電場\tilde{\mathbf{E}}和複值磁場\tilde{\mathbf{B}}的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是\mathbf{k}\,\!的方向。由於方程式(1)和(3)，
:\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}_0=0\,\!、
:\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r},t) =\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf{B}}_0=0\,\!，

電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式(2)，
: \nabla \times \tilde{\mathbf{E}}=\left(\nabla e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}\right) \times\tilde{\mathbf{E}}_0 =i \mathbf{k}\times\tilde{\mathbf{E}}= - \frac{\partial \tilde{\mathbf{B}}} {\partial t}=i\omega\tilde{\mathbf{B}}\,\!。

將角頻率與波數的色散關係式\omega=ck\,\!帶入：
: \tilde{\mathbf{B}} =\frac{\mathbf{k}}{\omega}\times\tilde{\mathbf{E}}=\frac{1}{c}\hat{\mathbf{k}}\times\tilde{\mathbf{E}}\,\!。

所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

電磁波譜分解
顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。]]

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為
: \mathbf{E} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{E}_0 \cos( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0 ) \,\!、
: \mathbf{B} ( \mathbf{r}, t ) = \mathbf{B}_0 \cos( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \phi_0 ) \,\!。

波向量與角頻率的關係為
: k = | \mathbf{k} | = { \omega \over c } = { 2 \pi \over \lambda } \,\!；

其中，\lambda\,\!是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

圓柱對稱性解
如圖右，思考一條由半徑為a\,\!的無窮長的直導線，和半徑為b\,\!的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸E_z=0\,\!和B_z=0\,\!的電磁橫波，採用圓柱坐標(s, \phi, z)\,\!，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為
:{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t )=\frac{{\mathbf{E}}_0}{s}\cos(kz - \omega t)\hat{s} \,\!、
:{\mathbf{B}}(\mathbf{r}, t )=\frac{\mathbf{E}_0}{cs}\cos(kz - \omega t)\hat{\phi} \,\!。

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

球對稱性解
思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩m=m_0 \cos(\omega t)\,\!。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標(r, \theta, \phi)\,\!，則在離原點很遠的位置\mathbf{r}\,\!，電場和磁場分別為

:{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t ) =\frac{\mathbf{E}_0\sin\theta}{r}\left[\cos(kr - \omega t) - \frac{1}{kr}[\sin(kr - \omega t) \right]\hat{\phi} \,\!、
:{\mathbf{B}}(\mathbf{r}, t ) = - \frac{\mathbf{E}_0\sin\theta}{cr}\left[\cos(kr - \omega t) - \frac{1}{kr}[\sin(kr - \omega t) \right] \hat{\theta}\,\!。

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

參閱
理論與實驗
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• 電磁輻射
• 電磁場的數學表述
• 偏導
• 光學

• 推遲勢
• 傑斐緬柯方程式
• 相對論
• 量子電動力學
• 雙縫實驗中光子的動力學

應用領域

• 彩虹
• 宇宙微波背景輻射
• 雷射
• 核融合
• X-射線
• 雷達

• 天線

*光子學

• 微波爐
• 全像攝影
• 顯微鏡
• 望遠鏡

參考文獻
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• Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.

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