数学中，泊松代数（）是具有一个满足莱布尼兹法则的李括号之结合代数；即括号也是导子。泊松代数自然出现于哈密顿力学，也是量子群研究的中心。携有一个泊松代数的流形也叫做泊松流形，辛流形与泊松-李群是其特列。此代数的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。
定义
一个泊松代数是域 K 上一个向量空间装备着两个双线性乘积，\cdot 与 { , }，满足如下性质：
- 乘积 \cdot 构成一个结合 K-代数；
- 乘积 { , }，叫做泊松括号，构成李代数，从而反对称并满足雅可比恒等式。
- 泊松括号是结合乘积 \cdot 的导子，即对此代数中任何三个元素 x，y 与 z，都有 {x, y\cdotz} = {x, y}\cdotz + y\cdot{x, z}。
最后一个性质通常保证了这个代数有其他给出表述，可见下面例子中所指出。
例子
泊松代数出现于多种不同场合。
辛流形
辛流形上实值光滑函数组成一个泊松代数。辛流形上每个实值函数 H 在此流形上产生一个向量场 X_H，即哈密顿向量场。然后给定此辛流形上任何光滑函数 F 与 G，它们的泊松括号 {,} 定义为
:\{F,G\}=dG(X_F)\,.
这个定义是一致的是因为此泊松括号是一个导子。等价地，可以将 {,} 定义为
:X_{\{F,G\}}=[X_F,X_G]\,
这里 [,] 是李导数。当辛流形是带着标准辛结构的 \mathbb R^{2n}，则泊松括号取如下熟知的形式
:\{F,G\}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}.
可对泊松流形进行类似的考虑，它允许辛双向量在流形的某些位置消没。
李代数
李代数的张量代数具有泊松代数结构。泛包络代数条目中给出了非常明确的构造。
构造过程中，首先要建立李代数底层向量空间的张量代数。张量代数，简单来说就是向量空间所有张量积的不交并（直积 ⊕)）。这样就可证明，李括号可被一致地提升到整个张量代数：其服从积律，又遵循泊松括号的雅可比同一性，因此提升后的李括号就是泊松括号。这样，一对积{,}、⊗就构成了泊松代数。注意⊗不交换也不反交换，只服从结合律。
因此，可得这样的一般结论：任何李代数的张量代数都是泊松代数。通过模得泊松代数结构，就得到了泛包络代数。
结合代数
如果 A 是一个结合代数，则交换子 [x,y]≡xy−yx 使它成为一个泊松代数。
顶点算子代数
对一个顶点算子代数 (V,Y, \omega, 1)，空间 V/C_2(V) 是一个泊松代数，其中 \{a,b\}=a_0b 而 a \cdot b =a_{-1}b。对某些定点算子代数，这个泊松代数是有限维的。
相关条目
*泊松超代数
*格尔斯滕哈伯代数
*Moyal bracket
参考文献
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