布朗运动（）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。
它是在西元1827年英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10−8厘米。
定義
自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：
粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
粒子的運動永不停止。
愛因斯坦的理論
在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。
爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。
他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（\Delta 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 \varphi(\Delta)。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。
:
\begin{align}
\rho(x,t) + \tau \frac{\partial\rho(x)}{\partial t} + \cdots = \rho(x, t+\tau) ={}& \int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x + \Delta, t) \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta
\\
={}& \rho(x, t) \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\Delta) \, d \Delta +
\frac{\partial\rho}{\partial x} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \Delta \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta
\\
&{}+
\frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots
\\
={}& \rho(x, t) \cdot 1 + 0 +
\frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \cdots
\end{align}
第一行中的第二个等式是被 \varphi 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：
:
\frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{\partial^2 \rho}{\partial x^2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta + \text{(更 高 阶 的 项 )}
拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 \Delta，让 D 为质量扩散系数：
: D = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta^2}{2\, \tau} \cdot \varphi(\Delta) \, \mathrm{d} \Delta
那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：
: \frac{\partial\rho}{\partial t}=D\cdot \frac{\partial^2\rho}{\partial x^2},
假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解
:\rho(x,t)=\frac{\rho_0}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}.
数学模型
定义
满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动
这个鞅是关于时间连续的。
他的平方减去时间项也是一个鞅。
(M_t)是一个布朗运动当且仅当(M_t)为鞅，且(M_t^2-t)也为鞅.
其他定义
一维的定义
一维布朗运动\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：
#（独立增量）设时间t和s满足t > s,增量\scriptstyle B_t-B_s独立于时间s前的过程\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}。
#（稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量\scriptstyle B_t-B_s服从均值为0方差为t−s的正态分布。
\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)是连续的.
通常假设\scriptstyle B_0=0。这种布朗运动我们称它为标准的。
等价定义
一维布朗运动\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：
\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：\scriptstyle t_1\leq t_2\leq ...\leq t_n ,随机向量：\scriptstyle (B_{t_1},B_{t_2},...,B_{t_n})服从高维高斯分布（正态分布）。
\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}几乎处处连续。
#对于所有s和t,均值\scriptstyle \mathbb E[B_t]=0，协方差\scriptstyle E[B_s B_t]=min (s,t).
高维定义
\scriptstyle (B_t)_{t \ge 0}:=\left(B^1_t,B^2_t,...,B^d_t\right)_{t \ge 0}是d维布朗运动，只需满足\scriptstyle B^1,B^2,...,B^d为独立的布朗运动。
换句话说，d维布朗运动 取值于\scriptstyle \mathbb R^d，而它在\scriptstyle \mathbb R,\mathbb R^2,...,\mathbb R^{d-1}空间上的投影均为布朗运动。
Wiener测度的定义
设\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)为从\scriptstyle \mathbb R^+到\scriptstyle \mathbb R的连续函数空间，\scriptstyle (\Omega,\mathcal T, \mathbb P)为概率空间。布朗运动为映射
: B: \Omega \longrightarrow C(\mathbb R^+,\mathbb R)
: \omega \mapsto \left( t\mapsto B_t(\omega) \right) .
Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为\scriptstyle W(d\omega),是映射B关于\scriptstyle \mathbb P(d\omega)的图测度。
换句话说， W是\scriptstyle \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R)上的一个概率测度，满足对于任何\scriptstyle A\subset \mathcal C(\mathbb R^+,\mathbb R) ，有
:W(A)=\mathbb P((B_t)_{t\geq0}\in A)。
备忘
- 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程。
- 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
- 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为t的随机过程为布朗运动。
性质
- 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何\scriptstyle \omega\in \Omega,轨道\scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)为一个连续但是零可微的函数。
- 协方差\scriptstyle \mathbb E[B_s B_t]=min (s,t)。
- 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件\scriptstyle [T ,过程\scriptstyle (B^T_t)_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_T)_{t\geq 0}为一个独立于\scriptstyle (B_{s})_{0 \leq s的布朗运动。
- 它的Fourier变换或特征函数为\scriptstyle \mathbb E\left[ e^{i u B_t} \right] = e^{-\frac{tu^2}{2}} 。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
- 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, \scriptstyle (B_{t+s}-B_s)_{t\geq 0}是一个独立于\scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}的布朗运动。
- -B是一个布朗运动。
- （稳定性） 对于c > 0， \scriptstyle \left(cB_{\frac{t}{c^2}}\right)_{t\geq 0}是布朗运动。
（时间可逆性）\scriptstyle \left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t > 0}在t*=0之外是布朗运动。
- （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：
: 如果\scriptstyle d\in \{1,2\},集合\scriptstyle\{t\geq 0, B_t=x\}不是有界的，对于任何\scriptstyle x\in \mathbb R^d ，
: 如果\scriptstyle d\geq 3, \,\,\,\lim_{t\rightarrow \infty} ||B_t||=+\infty（几乎处处）。
- （反射原理）
: \mathbb P[\sup_{0\leq s\leq t}B_s \geq a]=2 \mathbb P[B_t \geq a] = \mathbb P[|B_t| \geq a].
布朗运动的数学构造
利用Kolmogorov一致性定理
设(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}为L^2({\mathbb{R}}_+)空间中一列实值函数。设：
\forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_+\text{, }s(u,v)={\langle f_u,f_v \rangle}_{L^2({\mathbb{R}}_+)}=\int_{\mathbb{R}_+} f_u(x)f_v(x)dx
这列函数满足：
\forall k\in\mathbb{N}^*，任意的t_1, ..., t_k\in\mathbb{R}_+,矩阵\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}为对称半正定的。
利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程\{Y_t\}_{t\in\mathbb{R}_+}，它的均值m任意， 协方差为上面定义的s。
当(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}=\left(\sqrt{c}.1\!\!1_{[0,t]} \right)_{t\in\mathbb{R}_+}，c>0为不依赖于t的常数，1\!\!1_{[0,t]}为[0,t]上的示性函数。则：
s(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)
在这个情况下，矩阵\left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}是对称且正定的。
我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。c = Var(B_1)，当c = 1时， 称之为 标准的布朗运动.
利用随机过程
Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。
: \left( \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1} \right) \right)_{0\leq t\leq 1} \underset{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} (B_t)_{0\leq t\leq 1}
其中（Un, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。
利用傅立叶级数
设2列独立的正态\scriptstyle \mathcal N(0,1)随机变量序列\scriptstyle (N_k,k\in \mathbb N)和\scriptstyle (N'_k,k\in \mathbb N)。定义\scriptstyle (B_t)_{t\geq0}：
: B_t := t N_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2\pi k} \left(N_k \cos(2\pi kt -1)+N_k'\sin(2\pi kt)\right)
为布朗运动。
争议
對於布朗運動之誤解
参见
- 维纳过程
腳註
外部連結
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