高斯磁定律

在電磁學裏，高斯磁定律闡明，磁場（B場）的散度等於零。因此，磁場是一個螺線向量場。從這事實，可以推斷磁單極子不存在。磁的基本實體是磁偶極子，而不是磁荷。當然，假若將來科學家發現有磁單極子存在，那麼，這定律就必須做適當的修改，如稍後論述。高斯磁定律是因德國物理學者卡爾·高斯而命名。

在物理學界，很多學者使用「高斯磁定律」來指稱這定律，但並不是每一位學者都採用這名字。有些作者稱它為「自由磁單極子缺失」，或明確地表示這定律沒有取名字。還有些作者稱此定律為「橫向性要求」，因為在真空中或線性介質中傳播的電磁波必須是橫波。

理論方程式形式
、環面和立方體面；穿過這些曲面的磁通量等於零。右邊是開放曲面，包括圓盤面、正方形面和半球面；都具有邊界（以紅色顯示），不完全圍入三維體積。穿過這些曲面的磁通量不一定等於零。]]
高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式：微分形式和積分形式。根據散度定理，這兩種形式為等價的。

高斯磁定律的微分形式為
:\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\,\! ；

其中，\mathbf{B}\,\! 是磁感應強度。

這是馬克士威方程組中的一個方程式。

高斯磁定律的積分形式為
:
{{oiint
| intsubscpt = {\mathbb S}
| integrand = \mathbf{B} \cdot {\rm d}\mathbf{s}=0
}}

其中，\mathbb{S}\,\! 是一個閉曲面，\mathrm{d}\mathbf{s}\,\! 是微小面積分（請參閱曲面積分）。

這方程式的左手邊項目，稱為通過閉曲面的淨磁通量。高斯磁定律闡明這淨磁通量永遠等於零。

磁向量勢
根據亥姆霍兹分解（），因為磁場的散度等於零，必定存在有向量場 \mathbf{A}\,\! 滿足條件
:\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\,\! 。

這向量場 \mathbf{A}\,\! 稱為磁向量勢。

請注意並不是只有一個向量場 \mathbf{A}\,\! 滿足這條件。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式，
:\nabla\times(\nabla \phi)=0\,\! ，

給予任意函數 \phi\,\! ，那麼， \mathbb{A}=\mathbf{A}+\nabla\phi\,\! 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

磁場線
。將條狀磁鐵放在白紙下面，鋪灑一堆鐵粉在白紙上面，這些鐵粉會依著磁場線的方向排列，形成一條條的曲線，在曲線的每一點顯示出磁場線的方向。]]

磁場，就像任何向量場，可以用場線來描繪其軌跡。磁場線是一組曲線，其方向對應於磁場的方向，其面密度與磁場的大小成正比。因為磁場的散度等於零，磁場線沒有初始點，也沒有終結點。磁場線或者形成一個閉迴圈，或者兩個端點都延伸至無窮遠。

磁單極子
假若，有科學家發現磁單極子存在於宇宙，則高斯磁定律不正確，必須修正。磁場的散度會與磁荷密度 \rho_m\,\! 成正比：
:\nabla\cdot\mathbf{B} = \mu_0\rho_m\,\! 。

其中，\mu_0\,\! 是磁常數。

必歐-沙伐定律
從必歐-沙伐定律，可以推導出高斯磁定律。必歐-沙伐定律闡明，設定電流密度 \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\! ，則磁場為
:\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} d^3r' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}\right)\,\! ，

將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以移到積分外，改為旋度：
:\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\int_{\mathbb{V}'} d^3r' \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}\,\! 。

應用一項向量恆等式，
:\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\,\! 。

所以，高斯磁定律成立：
:\nabla\cdot\mathbf{B}=0\,\! 。

參閱
*磁矩
*安培力定律
*必歐-沙伐定律
*電磁場的數學表述

參考文獻