茶年 · 中文维基百科

等比数列

Wikipedia · 2026-02-25 维基百科 👁 1 阅读

等比数列，是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。因为数列中的任意一項都等于相邻两项的几何平均数，所以又名几何数列（）。

例如数列：
:3, 6, 12, 24, 48, 96, ...

就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于2。

性質
如果一个等比数列的首项記作a，公比記作r，那么该等比数列第n项a_n的一般項为：

:a_n=ar^{n-1}

換句話說，任意一個等比数列\{a_n\}都可以寫成

:\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^2\,,\,\cdots\,,\,\,ar^{n-1}\}

在一個等比數列中，給定任意兩相連項a_{n+1}和a_n（其中a_n\ne0），可知公比

:r=\frac{a_{n+1}}{a_n}

給定任意兩項a_m和a_n，則有公比

:r=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}}

這裡注意，若m-n是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說，a_1\times a_3={a_2}^2。

更一般地說，有：

:a_{n-1}\times a_{n+1}={a_n}^2

證明如下：

:\begin{align}
a_{n-1}\times a_{n+1} & = ar^{n-2}\times ar^n \\
& = a^2 \times r^{2n-2} \\
& = (ar^{n-1})^2 \\
& = {a_n}^2 \\
\end{align}

證畢。

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相邻两项的幾何平均：

:a_n=\pm \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}

此結果從上面直接可得。

如果有整數m,n,p,q，使得 m+n=p+q，那么则有：

:a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q

證明如下：

:\begin{align}
a_m \cdot a_n &=ar^{m-1} \cdot ar^{n-1} \\
&=a^2 r^{m+n-2} \\
&=a^2 r^{p+q-2} \\
&=ar^{p-1} \cdot ar^{q-1} \\
&=a_p \cdot a_q \\
\end{align}

由此可將上面的性質一般化成：

:a_{n-k} \cdot a_{n+k}={a_n}^2

:a_n=\pm \sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}

其中k是一個小於n的正整數。

給定一個等比數列 \{a_n\}，則有：

  • \{b\cdot a_n\} 是一個等比數列。
  • \{\frac{b}{a_n}\} 是一個等比數列。
  • \{\log_b(a_n)\} 是一個等差數列。

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

:a_n=pq^n

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比r=q，首項a=pq。

公比
公比（）是对于等比数列这一特殊数列而言的，它是指在等比数列中后一项与前一项的商。

等比数列的通项公式
等比数列都满足：\frac {a_n} {a_{n-1}} = q。例如，数列3、9、27、81......的公比是3。注意公比不能是0（因為N\div 0），否则為未定义。

等比数列和
一個等比數列的首n項之和，稱為等比数列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作S_n。

舉例來說，等比數列\{1,2,4,8\}的和是1+2+4+8=15。

等比數列求和的公式如下：

:S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}

其中a為首項，n為項數，r為公比，且r\ne1。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：
:S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} ……(1)

将两边同乘以公比 ，有：
:rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^n ……(2)

(1)式减去(2)式，有：
:(1-r)S_n=a-ar^n

当r\ne1时，整理後得證。

當r=1時，可以发现：
:\begin{align}
S_n & = a +ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \\
& = \begin{matrix} \underbrace {a+a+a+\cdots+a} \\ n
\end{matrix} \\
& = n \times a \\
& = an \\
\end{align}

综上所述，等比数列的求和公式为：
:
S_n=\begin{cases}
\frac{a(1-r^n)}{1-r}&r\neq1\\
an&r=1
\end{cases}

當-1時，注意到
:\lim_{n\rightarrow\infty}r^n=0

因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為
:S_{\infty}=\frac{a}{1-r}

由此可見，當-1時，幾何級數會收斂到一個固定值。

等比数列积
一個等比數列的首n項之積，稱為等比数列積（product of geometric sequence），記作P_n。

舉例來說，等比數列\{1,2,4,8\}的積是1\times2\times4\times8=64。

等比數列求積的公式如下：

:P_n=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}

證明如下：

:\begin{align}
P_n&=a\cdot ar \cdot ar^2 \cdot \cdots \cdot ar^{n-1} \\
&=a^n \cdot r^{0+1+2+\cdots+(n-1)}\\
&=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} \\
\end{align}

第二步，公比r的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為n-1。

参见

  • 序列
  • 數列
  • 級數
  • 幾何級數
  • 幾何平均
  • 等差數列
  • 等諧數列
  • 国际象棋盘与麦粒问题

参考文献

#序列

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。