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等差数列

Wikipedia · 2025-11-28 维基百科 👁 1 阅读

等差数列，又名算術数列（），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（）。

例如数列：

:

就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等。

性质
如果一个等差数列的首项記作 ，公差記作 ，那么该等差数列第 项 的一般項为：

:a_n=a_1+(n-1)d

換句話說，任意一個等差数列 {{math|{an} }}都可以寫成

:\{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots\,,\,\,a+(n-1)d\}

在一個等差數列中，給定任意兩相連項 和 ，可知公差

:d=a_{n+1}-a_n

給定任意兩項 和 ，則有公差

:d=\frac{a_m-a_n}{m-n}

此外，在一個等差数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說， = 。

更一般地說，有：

:a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n

證明如下：

:\begin{align}
a_{n-1}+a_{n+1} & = [a+(n-2)d]+(a+nd) \\
& = 2a+(2n-2)d \\
& = 2[a+(n-1)d] \\
& = 2a_n \\
\end{align}

證畢。

從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均：

:a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 ，使得 m+n=p+q，那么则有：

:a_m+a_n=a_p+a_q

證明如下：

:\begin{align}
a_m+a_n &=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d] \\
&=2a+(m+n-2)d \\
&=2a+(p+q-2)d \\
&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d] \\
&=a_p+a_q \\
\end{align}

由此可將上面的性質一般化成：

:a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n

:a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}

其中 是一個小於 的整數。

給定一個等差數列 \{a_n\}，則有：

  • \{b+a_n\} 是一個等差數列。
  • \{b\cdot a_n\} 是一個等差數列。
  • \{b^{a_n}\} 是一個等比數列。
  • \{\frac{b}{a_n}\} 是一個等諧數列。

從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成

:a_n=p+qn

形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 = ，首項 = 。

等差數列和
一個等差數列的首 項之和，稱為等差数列和（）或算術級數（），記作 。

舉例來說，等差數列 {{math|{1, 3, 5, 7} }}的和是 = 。

等差數列求和的公式如下：

:\begin{align}
S_n & = \frac{n}{2}\,(a+a_n) \\
& = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d] \\
& = an+d\cdot\frac{n(n-1)}{2}
\end{align}

等差数列和在中文教科書中常表达为:
::一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。

公式證明如下：

将等差數列和写作以下两种形式：

: S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\dots+[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]

: S_n=[a_n-(n-1)d]+[a_n-(n-2)d]+\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n

将两公式相加来消掉公差 ，可得

:\ 2S_n=n(a+a_n)

整理可得第一種形式。

代入 a_n=a+(n-1)d，可得第二種及第三種形式。

從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成

:S_n=pn+qn^2

形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差 = ，首項 = 。

等差数列积
一個等差數列的首 項之積，稱為等差数列積（），記作 。

舉例來說，等差數列 {{math|{1, 3, 5, 7} }}的積是 = 。

等差数列積的公式较為复杂，須以Γ函數表示：

:P_n =d^n\cdot\frac{\Gamma(\frac{a}{d}+n)}{\Gamma(\frac{a}{d})}

證明如下：

:\begin{align}
P_n&=a\cdot(a+d)\cdot(a+2d)\cdot\cdots\cdot[a+(n-1)d] \\
&=d^n\cdot\left(\frac{a}{d}\right)\cdot\left(\frac{a}{d}+1\right)\cdot\left(\frac{a}{d}+2\right)\cdot\cdots\cdot\left[\frac{a}{d}+(n-1)\right] \\
&= d^n \cdot{\left(\frac{a}{d}\right)}^{\overline{n}} \\
&=d^n\cdot\frac{\Gamma(\frac{a}{d}+n)}{\Gamma(\frac{a}{d})} \\
\end{align}

這裡的 x^{\overline{n}} 为 的 次上升阶乘幂，例子如 1.1^{\overline{3}}=1.1\times 2.1\times 3.1 。

使用上面的例子，對於數列 {{math|{1, 3, 5, 7} }}：

:\begin{align}
P_4&=2^4\cdot\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+4)}{\Gamma(\frac{1}{2})} \\
&=16\cdot\frac{11.6317\dots}{1.77245\dots} \\
&=105
\end{align}

結果相等。

参见

  • 序列
  • 數列
  • 級數
  • 算術平均
  • 等比數列
  • 等諧數列

注释
参考文献

#序列

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