模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。
定义
给定一个论域U ，那么从U到单位区间[0,1]的一个映射 \mu_{A}: U \mapsto [0,1] 称为U上的一个模糊集，或U的一个模糊子集。
表示
模糊集可以记为A。映射（函数）\mu_A(\cdot)或简记为A(\cdot)叫做模糊集A的隶属函数。对于每个x\in U， \mu_A(x)叫做元素x对模糊集A的隶属度。
模糊集的常用表示法有下述几种：
解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
Zadeh记法，例如 A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。
序偶法，例如 A=\{(x_1,1),(x_2,0.5),(x_3,0.72),(x_4,0)\}，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。
向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如A=(1,0.5,0.72,0)。
和传统集合的关系
和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間[0,1]（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集A的歸屬函數為M ，而a、b、c為三個元素；如果M(a)=1，M(b)=0，M(c)=\frac{1}{2}，則可以說 「a完全屬於A」，「b完全不屬於A」，「c對A的歸屬度為\frac{1}{2}」（注意没有說「c有一半屬於A」，因為尚未規定\frac{1}{2}的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函数（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。
截集与截积
设 A为 U上的模糊集（记作 A\in \mathcal{F}(U)），任取 \lambda \in [0,1]，则
: A_\lambda = \{ u\in U\mid A(u)\geq\lambda\}，
称A_\lambda为A的\lambda截集，而\lambda称为阈值或置信水平。将上式中的\geq替换为>，记为A_{S\lambda}，称为强截集。
截集和强截集都是经典集合。此外，显然A_1为A的核，即\ker A；如果\ker A\neq \varnothing，则称A为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。
截积是数与模糊集的积：
设\lambda\in [0,1]，A\in F(U)，则\forall u\in U，\lambda与A的截积（或称为\lambda截集的数乘，记为\lambda A）定义为：
: (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)=
\begin{cases}
A(u), &\lambda \geq A(u),\\
\lambda, &\lambda
根据定义，截积仍是U上的模糊集合。
分解定理与表现定理
分解定理：
设A\in F(U)，则
: A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda
即任一模糊集A都可以表达为一族简单模糊集\left \{ \lambda a_\lambda \right \}的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。
表现定理：
设H为U上的任何一个集合套，则
: A=\bigcup\limits_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)
是U上的一个模糊集，且\forall\lambda\in [0,1]，有
（1）A_{S\lambda}=\cup_{\alpha>\lambda}H(\alpha)
（2）A_\lambda=\cap_{\alpha
即任一集合套都能拼成一个模糊集。
模糊度
一个模糊集A的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：
设映射D:F(U)\rightarrow[0,1]满足下述5条性质：
清晰性：D(A)=0当且仅当A\in P(U)。（经典集的模糊度恒为0。）
模糊性：D(A)=1当且仅当\forall u\in U有A(u)=0.5。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
单调性：\forall u\in U，若A(u)\leq B(u)\leq 0.5，或者A(u)\geq B(u)\geq 0.5，则D(A)\leq D(B)。
对称性：\forall A\in F(U)，有D(A^c)=D(A)。（补集的模糊度相等。）
可加性：D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)。
则称D是定义在F(U)上的模糊度函数，而D(A)为模糊集A的模糊度。
可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是
\begin{align}
D_p(A)&=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}\\
D(A)&=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u
\end{align}
其中p>0是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当p=1的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当p=2的时候称为 Euclid 模糊度。
模糊測度(Fuzzy measures)
\mathfrak{B}是輿集\mathrm{X}的一種。
用g函數定義\mathfrak{B}，包含下列3項特性稱為模糊測度:
①g(0)=0,g(\mathrm{X})=1
---g函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。g函數代X表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。
②若A,B\in\mathfrak{B}和A\subseteq B, 則g(A)\leq g(B).
---A,B是屬於\mathfrak{B}的一部分，A在B裡面也可能跟B一樣大，則g(A)\leq g(B)
③If A_{n}∈\mathfrak{B}, A_1⊆A_2⊆…,then \lim_{n \to \infty}g(A_n)=g(\lim_{n \to \infty}A_n )
---當A_{n}屬於\mathfrak{B}同時A_1包含於A_2\subseteq\ldots，則將A_n代入g函數趨小所得的值等同於先趨小A_n再代入g函數所求得的值。
模糊量測(measures of fuzziness)
模糊集的运算
各种算子
- Zadeh 算子，\max即为并，\min即为交
\begin{align}a\vee b&=\max\{a,b\}\\
a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{align}
- 代数算子（概率和、代数积）
\begin{align}a\stackrel{\wedge}{+} b &=a+b-ab\\
a\cdot b &= ab\end{align}
- 有界算子
\begin{align}a\oplus b &=\min\{1,a+b\}\\
a\odot b &= \max\{0,a+b-1\}\end{align}
- Einstein 算子
\begin{align}a\stackrel{+}{\epsilon} b &= \frac{a+b}{1+ab}\\
a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b &= \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}\end{align}
- Hamacher 算子，其中\nu \in [0,+\infty)是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子
\begin{align}
a\stackrel{+}{\nu} b &= \frac{a+b-ab-(1-\nu)ab}{\nu+(1-\nu)(1-ab)}\\
a\stackrel{\cdot}{\nu} b &= \frac{ab}{\nu+(1-\nu)(a+b-ab)}
\end{align}
- Yager 算子，其中p是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子
\begin{align}a\;Y_p\;b &= \min\{1,(a^p+b^p)^{1/p}\}\\
a\;y_p\;b &= 1-\min\{1,[(1-a)^p+(1-b)^p]^{1/p}\}\end{align}
*\lambda-\gamma算子，其中\lambda, \gamma \in [0,1]是参数
\begin{align}a\;\lambda\;b &= \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)\\
a\;\gamma\;b &= (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma\end{align}
- Dobois-Prade 算子，其中\lambda \in [0,1]是参数
\begin{align}
a\vee_d b &= \frac{a+b-ab-\min\{(1-\lambda),a,b\}}{\max\{\lambda,1-a,1-b\}}\\
a\wedge_d b &= \frac{ab}{\max\{\lambda,a,b\}}
\end{align}
算子的性质
参见集合代数和布尔代数。
主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：
线性补偿是指：
(\forall x,y,k \in [0,1])(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))
模糊集之间的距离
使用度量理论
可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集F(U)上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到[0,1]区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：
:
\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}
贴近度
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。
除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。
*; 最大最小贴近度
: \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}
*; 算术平均最小贴近度
: \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}
*; 几何平均最小贴近度
: \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}
*; 指数贴近度
: \displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}
參見
- 粗集合
- 解模糊
參考文獻
Fuzzylogik#Unscharfe Mengen
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