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误差传播

Wikipedia · 2026-07-17 维基百科 👁 1 阅读

很多情况下，被测量Z 不能直接测得，而是由N 个其他量x_1,x_2,\dots,x_n通过函数关系来确定，在统计学上，由于变量含有误差，而使由函数计算出的被测量Z 受其影响也含有误差，（例如，仪器精准度），称之为误差传播。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。

误差传播定律
设有一般函数（线性函数和非线性函数）

Z=f(x_1,x_2,\dots,x_n)

式中x_1,x_2,\dots,x_n 为可直接观测的相互独立的未知量，z为不便于直接观测的未知量。已知x_1,x_2,\dots,x_n 的標準差分别为m_1,m_2,\dots,m_n ,现在要求z的標準差m_z 。已知函数z的中误差关系式为m_z^2 =k_1^2 m_1^2+k_2^2 m_2^2+\dots+ k_n^2 m_n^2（其中k_1,k_2,\dots,k_n为任意常数）。由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似的用函数的全微分来表达，为此对上式求全微分，并以真误差的符号“Δ”替代微分的符号“d”得
\Delta z=\frac{\partial f}{\partial x_1} \cdot \Delta x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot \Delta x_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\cdot \Delta x_n

式中\frac{\partial f}{\partial x_i} （i=1，2，，…，n）是函数对各个变量变量所取得偏导数，对上式以標準差平方代替真误差,由函数z的中误差关系式可得

m_z^2 = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \right)^2 m_1^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x_2} \right)^2 m_2^2+\dots+ \left(\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^2 m_n^2

将上式取平方根可得误差传播定律的一般形式

m_z=±\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \right)^2 m_1^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x_2} \right)^2 m_2^2+\dots+ \left(\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^2 m_n^2}

参见

  • 测量精度
  • 自動微分

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  • 精度衰减因子
  • 误差

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  • 测量不确定度
  • 数值稳定性

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外部链接

#测绘学 #数学术语 #误差理论

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