會相交於內切圓的圓心]]
在數學中，若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是所謂的多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。内切圓的圓心被稱為該多邊形的内心。
一個多邊形至多有一個内切圓，也就是說對於一個多邊形，它的内切圓，如果存在的話，是唯一的。並非所有的多邊形都有内切圓。三角形和正多邊形一定有内切圓。擁有内切圓的四邊形被稱為圆外切四边形。
三角形的內切圓
任何三角形ABC都有內切圓。這個內切圓的圓心稱為內心，一般标记为I，是三角形內角平分線的交點。在三線坐標，內心是1:1:1。
性质
內切圓的半徑為\frac{2\triangle}{a+b+c}，當中\triangle表示三角形的面積，a、b、c為三角形的三個邊長。
以內切圓和三角形的三個切點為頂點的三角形T_A T_B T_C是ABC的内接三角形之一。ABC的內切圓就是T_A T_B T_C的外接圓。而AT_A、BT_B和CT_C三线交于一点，它们的交點就是熱爾崗點（Gergonne point）。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。
若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。
三角形的外接圆半径R、内切圆半径r以及内外心间距OI之间有如下关系：
:R^2 - OI^2 = 2Rr
直角三角形兩股和等於斜邊長加上該三角形內切圓直徑
:a+b=c+2r
由此性質再加上勾股定理a^2+b^2=c^2，可推得：
:\triangle =r(r+c)
在直角座標系中，若頂點的座標分別為(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3)，則内心的座標為：
:(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})
若I为三角形ABC的内心，AI所在直线交三角形ABC外接圆于点D，则有ID=DB=DC(见鸡爪定理)
四边形的内切圆
不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和相等：AB+CD = AD+BC，此命题称为皮托定理。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为：
S_{ABCD} = rs，其中s为半周长。
同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。
正多边形的内切圆
正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为a的正多边形的内切圆半径为：
:r_n = \frac{a}{2} \cot \left(\frac{\pi}{n} \right)
其内切圆的面积为：
:s_n =\pi r_n^2 = \frac{ \pi a^2}{4} \cot^2 \left(\frac{\pi}{n} \right)
内切圓面積s_n與正多邊形的面積S_n之比為：
:\varphi_n = \frac{s_n } { S_n } = \dfrac{ \frac{ \pi a^2}{4} \cot^2 \left(\frac{\pi}{n} \right) } { \frac{ n a }{2} \left[ \frac{a}{2} \cot\left( \frac{\pi}{n} \right)\right] } = \frac{\pi}{n} \cot \left(\frac{\pi}{n} \right)
故此，當正多邊形的邊數n趨向無窮時，
:\lim_{n \to \infty} \varphi_n = \lim_{n\to \infty} \frac{ \pi} {n} \cot \left( \frac{ \pi} { n } \right) = \lim_{n \to \infty} \cos^2 \left( \frac{ \pi } { n } \right) = 1
参考文献
参见
- 旁切圓
- 外接圓
- 九点圆
- 内切球
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