擴展實數線

擴展實數線又稱廣義實數（），由實數線\R加上+\infty和-\infty得到（注意+\infty和-\infty并不是实数），写作\overline\R、或{{math|ℝ ∪ {−∞, +∞}|}}。在不會混淆時，符號 常簡寫成。扩展的實數線在研究数学分析，特别是积分时非常有用。

扩展
对任意实数a，定义-\infty ，扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在\overline\R上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合U是+\infty的邻域，当且仅当它包含集合\left\{ x : x > a \right\}，这里a是某个实数。-\infty的邻域类似。\overline\R是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间\left[ 0, 1 \right]同胚。

\R上的算术运算可以部分地扩展到\overline\R，如下：

:
\begin{array}{l}
a + \infty = +\infty + a = +\infty & a \neq -\infty \\
a - \infty = -\infty + a = -\infty & a \neq +\infty \\
a \cdot \left( \pm\infty \right) = \pm\infty \cdot a = \pm\infty & a \in \left( 0, +\infty \right] \\
a \cdot \left( \pm\infty \right) = \pm\infty \cdot a = \mp\infty & a \in \left[ -\infty, 0 \right) \\
\dfrac{a}{\pm\infty} = 0 & a \in \R \\
\dfrac{\pm\infty}{a} = \pm\infty & a \in \left( 0, +\infty \right) \\
\dfrac{\pm\infty}{a} = \mp\infty & a \in \left( -\infty, 0 \right)
\end{array}

通常不定义\infty - \infty, 0 \cdot \left( \pm\infty \right), \frac{\pm\infty}{\pm\infty},\frac{a}{0}。同时\frac{1}{0}也不定义为+\infty（因為這樣忽視了-\infty），这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意在这些定义下，\overline\R不是域，也不是环。

性质
经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：

• a + \left( b + c \right)和\left( a + b \right) + c相等或同时没有定义。
• a + b和b + a相等或同时没有定义。
• a \cdot \left( b \cdot c \right)和\left( a \cdot b \right) \cdot c相等或同时没有定义。
• a \cdot b和b \cdot a相等或同时没有定义。
• a \cdot \left( b + c \right)和\left( a \cdot b \right) + \left( a \cdot c \right)若都有定义则相等。
• 若a \le b且a + c和b + c都有定义，则a + c \le b + c。
• 若a \le b且c>0且a \cdot c和b \cdot c都有定义，则a \cdot c \le b \cdot c。

通常只要表达式都有定义，所有算术性质在\overline\R上都成立。

使用极限，一些函数可以自然地扩展到\overline\R。例如可以定义\rm{e}^{-\infty} = 0, \rm{e}^{+\infty} = +\infty, \ln{0} = -\infty, \ln{\left( +\infty \right)} = +\infty等。

参见

• 扩展的复平面