负数

负数（英文：Negative number），在数学上指小于0的实数，如−2、−3.2和−807.5，与正数相对。负數本身是一個不可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體R−或\mathbb{R}^-来表示。负数与0统称非正数。

负数的历史
负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式x-y=z对任意x和y都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示負債，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。

自从漢代，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。 公元1世纪的《九章算術》说“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”（這段話的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。”）。以上文字里的“無入”通常被数学历史家认为是零的概念。

尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。

西方最早在数学上使用负数的文獻紀錄，是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。

符号函数
在实数上可以定义这样一个函数\sgn (x)，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：
:\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x 0 \end{matrix}\right.

当x不为 0 时，则有：
:\sgn(x) = \frac{x} = \frac{x} = \frac{d}{d{x}} = 2H(x)-1.

这里，\left \vert x \right \vert为x的绝对值，H(x)为单位阶跃函数。请参见导数。

负数的四則運算
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加法
加上一个负数相当于减去其相反數：

: 6 + ({\color{Violet}-3}) = 6 - {\color{Orange}3} = 3 \,
: -2 + ({\color{Violet}-5}) = -2 - {\color{Orange}5} = -7 \,

减法
一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数：
: 6 - 3 = 3 \,
: 4 - 6 = -2 \,
: 0 - 5 = -5 \,

任意负数减去一个正数总得到一个负数：

: -6 - 3 = - (6 + 3) = -9 \,

减去一个负数相当于加上相应的正数：

: 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \,
: (-6) - (-3) = -(6 - 3) = -3 \,

乘法
一个负数和一个正数相乘得到一个负数：(-2)\times 3=-6。这里，乘法可以被看作是多次加法的重复：(-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6。

两个负数相乘得到一个正数：(-3)\times(-4)=12。这里，乘法不能再被看作是多次加法的重复了，而是为了使乘法满足分配律：
: \bigg[3 + (-3)\bigg] \times (-4) = 3 \times (-4) + (-3) \times (-4). \,

等式的左边为0\times(-4)=0。等式的右边为-12+(-3)\times(-4)。为了使两边相等，必须要(-3)\times(-4)=12。

除法
除法和乘法类似。若被除数和除数有不同的符号，结果是一个负数：
: \; 8 \;\div\; (-2) = -4 \,
: (-10) \;\div\; 2 = -5 \,

若被除数和除数有相同的符号（就算他们均为负），结果是一个正数：
: (-6) \;\div\; (-3) = 6 \;\div\;3=2 \,

参见

• 实数
• 超实数（Hyperreal number）
• 超現實數（Surreal Numbers）
• 負整數
• 科学计数法

參考資料及註釋