支出最小化

支出最小化问题，在经济学，特别是微观经济学中是效用最大化问题的对偶问题，直观地说就是：“需要多少钱才能使我效用達到最大？” 给定效用函数，价格，和效用目标，这个问题可以分为两部分。

支出函数
假设消费者有一个定义在L种商品\mathbf{x}\in\mathbb{R}^L_+上的效用函数u。则该消费者的支出函数给出在给定价格为\mathbf{p}的情况下购买一组商品x，使得得到的效用u(x)\geq u^*时所需钱的数额。
形式上，支出函数可以这样定义。

:e(\mathbf{p}, u^) = \min_{\mathbf{x} \in \geq(u^)} \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}

这里

:\geq(u^):= \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^L_+ | u(\mathbf{x}) \geq u^\}，

表示所得效用至少等于u^*的组合的集合。

希克斯需求函數
希克斯需求函數 \mathbf{h}(\mathbf{p}, u^*)定义一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义馬歇爾需求函數，

:\mathbf{h}(\mathbf{p}, u^) = \mathbf{x}(\mathbf{p}, e(\mathbf{p}, u^))。

如果马歇尔需求对应\mathbf{x}(\mathbf{p}, w)是一个总是给出唯一解的函数，则与之相对应的希克斯需求对应\mathbf{h}(\mathbf{p},u^*) 也可以被称为是希克斯需求函数。