大地水准面

分布图，红、蓝两色分别表示高于和低于椭球面|替代=|280x280px]]

大地水准面（）是指地球重力场中，与处于自由静止状态的平均海水面相重合或最为接近的重力等位面。这一概念最早由德国大地测量学家卡爾·弗里德里希·高斯在1828年提出。当时，高斯以“地球的数学表面”，并提出将其作为高程系统的基准面。其后，高斯的学生利斯廷于1873年创造出了“Geoid”一词，用以描述高斯所提出的数学表面。

在大地测量学中，大地水准面被视作是地球的物理形状和数学形状。处于静力平衡状态下的平均海水面被视作是符合这一标准的重力等位面，这一假想的海水面不受潮汐、风浪及大气压的变化影响，仅在地球引力和因地球自转产生的离心惯性力的作用下保持平衡。将该平均海水面所处的重力等位面延伸到陆地内部，形成的闭合曲面即为大地水准面，其所包围的形体又被称为大地体。

1849年，英国物理学家斯托克斯提出了计算大地水准面的斯托克斯方法，使大地水准面的形状能够通过其整个表面上的重力观测值确定。，全球尺度下的大地水准面也得以以分米级的精度测定。莫洛坚斯基、等大地测量学家，亦在斯托克斯方法的基础上提出了通过地面测量技术确定大地水准面的新方法。在各类高程系统中，日常中称为海拔高程的正高系统是基于大地水准面建立的。

定义
经典定义
1873年，利斯廷提出了大地水准面的经典定义，即大地水准面是与平均海水面相重合的重力等位面。

:
W = W_g + W_a + W_t

不同于 W_g，后两项与地球内部的质量分布无关，因此可以被相对精确地计算。拉普认为，定义大地水准面的重力位应当仅包含 W_g和 W_a，即大地水准面应当是使 W_g + W_a 等于常数的重力等位面，而因引潮力、风和洋流等其他因素影响产生的变化则不在考虑范围之内。这种定义方式认为，通过多年的验潮数据可以得到一个平均海水面，其上的任意一点的位置与海洋面的长期平均位置相重合。

然而，20世纪60年代以来对平均海水面的研究发现，其与大地水准面间存在最大可达2米的系统性的偏移，这就使大地水准面的经典定义暴露出了缺陷。因此，马瑟（）等人在1978年提出，大地水准面应重新定义为与平均海水面最为密合的重力等位面。

相对论定义
1985年，瑞典大地测量学家基于相对论重力提出了相对论大地水准面的概念，即一个使其上所有精密时钟的运行速率相同且与平均海水面最为密合的封闭曲面。在2019年，德国不来梅大学的丹尼斯·菲利普（）利用新的测量结果，以及无含时红移势能（）等新的理论，对相对论大地水准面的概念给出了数学上的表述方法。这一方法给出的相对论水准面与经典大地水准面之间存在着毫米级的差异。

形状
的假彩色图像，差距放大了10,000倍，地形添加了阴影效果|替代=|280x280像素]]
的假彩色图像，差距按比例表示|替代=|280x280像素]]

从数学上看，大地水准面是一个连续但不规则的闭合曲面，它与经过这一曲面的铅垂线处处正交。地球内部的质量分布，特别是外层的质量分布的不均匀性，使得大地水准面的形状变得特别复杂。相对于WGS84椭球，大地水准面的起伏从最高点到最低点的范围仅不到200米。在这一差距被放大的情况下，大地水准面的形状则与-{zh-hans:土豆; zh-hant:馬鈴薯; }-或梨相似。尽管大地水准面是一个不规则的曲面，但它仍比真实的地形表面更加平滑，后者的高程差跨越了近20千米。

起伏
大地水准面起伏又称大地水准面高或大地水准面差距，是指大地水准面上的某一点，与其沿法线投影到参考椭球面上的相应位置之间的距离。

大地水准面起伏的幅度和空间分布受地球内部密度分布的直接影响。在频谱分析中，大地水准面起伏的分布可分为长波（尺度为上千公里，幅度为±100米左右）、中波（尺度为上百公里，幅度为±10米）和短波（尺度为数十公里，幅度为±1米）部分。，而中短波部分则反映岩石圈和地形的影响。在地球物理学研究中，大地水准面的起伏又可分为地形的不规则部分、结晶基底起伏、莫霍面起伏、岩石圈底面起伏，以及因地幔和地核部分的横向密度不均匀造成的起伏等。

正异常
大地水准面高在北大西洋、欧洲、非洲的西部和南部、印度洋西南部、安地斯山脈、西太平洋及赤道太平洋部分等地表现出正值，世界上所有的大型地盾、显生宙地台和地质熱點几乎也都位于这些地区。其中，分布较广而幅度较高的有两个区域，横跨了大西洋和非洲的正异常区域被称为大西洋-非洲大地水准面高值区（），太平洋中西部的正异常区域则被称为赤道太平洋大地水准面高值区（）。西太平洋的正异常区域在中生代早期曾是俯冲杂岩帶所处的位置。其他与俯冲带不相关的正异常区域则可能曾是大陆板块的聚集处，或是古板块的中心等会发生地幔绝热现象的地区。地幔的绝热会使得其本身的温度升高，其产生的抬升和岩浆作用能够产生大地水准面的正异常。对于这些负异常形成的原因，存在有众多推测，如软流层中的浅层物质流，以及地幔和地核的边界处发生的凹陷等。同时，这些推测也都同意，印度洋大地水准面低值区出现的部分原因是特提斯洋在中生代的俯冲带来的密度异常。

测定
测定大地水准面进行的技术手段有多种，包括在地面、船舶和飞机中直接进行重力测量，或是通过天文方法和卫星导航系统进行水准测量以获取垂线偏差或大地水准面高，又或是利用雷达和人造卫星进行卫星测高来描绘地形表面的高度，以及通过对卫星轨道摄动情况的分析、卫星跟踪卫星以及卫星重力梯度测量等卫星重力探测技术直接反演地球重力场的中长波分量等。其所依据的原理是对地面的重力测量数据进行积分（如斯托克斯方法），或将地球重力场以球谐级数的形式表达（如拉普拉斯方法）。

在人造卫星出现前，斯托克斯方法是测定大地水准面的主要原理，但这种方式在应用过程中存在诸多困难：斯托克斯公式中的积分难以收敛、全球性的观测数据难以获得等。从此，使用拉普拉斯方法构建全球的重力场模型，成为了大尺度上表达大地水准面的主要方式。

斯托克斯方法
乔治·斯托克斯在1849年提出的斯托克斯定理指出：在大地水准面的外部没有质量分布的情况下，其形状和其外部的重力场可以由地球的质量、自转角速度以及大地水准面上的重力观测值唯一确定，而与其内部的质量分布无关。，该项是单位球面上的被计算点与重力异常观测值所在的角元素之间的夹角
\psi
的函数。又由于人造卫星对重力场模型中的高阶项并不敏感在建立重力场模型的过程中，重力位
W
被分成引力位
V
和离心力位
\Phi
两部分（即
W = V + \Phi
），其中离心力位
\Phi
能够根据地球的自转角速度
\omega
和点在空间中的坐标
(x,y,z)
直接计算得到：

:
V=\frac{GM}{r}{\sum_{n=0}^{n_\text{max}}}\left(\frac{a}{r}\right)^n{\sum_{m=0}^n}
\overline{P}_{nm}(\sin\phi)\left[\overline{C}_{nm}\cos m\lambda+\overline{S}_{nm}\sin m\lambda\right]

上式中的各个量的含义如下：

*
(r, \phi, \lambda)
是空间中某特定点的球坐标，r\ 是点的地心距离， \phi\ 和 \lambda\ 分别是点的地心纬度和经度

*
GM
为重力场模型的地心引力常数
*
n_\text{max}
为该重力场模型的最大阶数

*a 为地球（参考椭球体）的长半轴
*\overline{P}_{nm} 是 n\ 阶 m\ 次的完全正规化缔合勒让德多项式
*\overline{C}_{nm} 和 \overline{S}_{nm} 是由测量数据确定的该重力场模型的完全正规化系数

其中，当
n=0
时，
\overline{P}_{00}(\sin\phi) = 1
，
\overline{C}_{00} = 1
，则求和符号右侧所有项的和为
1
；当
n=1
时，
\overline{C}_{1,m} = \overline{S}_{1,m} = 0
，则求和符号右侧所有项的和为
0
.

现有的地球重力场模型
现有的地球重力场模型由国际地球重力场模型中心（ICGEM）负责收集和存档。截至2020年，ICGEM存储的阶数超过2000阶的超高阶静态全球重力场模型有如下几个：

高程系统
]]

大地水准面是正高系统的参考面，正高被定义为地面上任意一点沿其所在的铅垂线到大地水准面的距离。

:h = H + N

其中，h 表示大地高（椭球高），H 表示正高，N 表示大地水准面高。

与正常高的关系
正高的计算需要用到重力平均值 g^B_{\text{m}}，但该值无法在地球内部的质量和重力分布未知的情况下得到，所以正高无法被精确求得。在这一高程系统中，由地球表面向下量取正常高而获得的表面被称为似大地水准面，由正常椭球面向上量取正常高而获得的表面则被称为似地形表面，而似大地水准面和正常椭球面之间的差距又被称为高程异常。似大地水准面与水准面不同，它没有具体的物理意义，更不是重力等位面，只是用于计算的辅助面。在2015年，国际大地测量协会（IAG）公布的大地水准面重力位参考值为
W_0 = 6.263\,685\,34 \times 10^{7} \, \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}
。但在不同的区域高程系统中，其定义的高程系统仍可能对应出不同的大地水准面重力位值。以中国1985国家高程基准为例，其与全球平均大地水准面的差异为21到23厘米。

时变现象
在加拿大、北欧和南极洲等地，冰后回弹效应会使得大地水准面发生每年多达2毫米的变化，垂直方向上的地壳构造运动亦会使大地水准面发生微小的变动。在建立高精度的高程系统时候，考虑这些大地水准面的时变现象是非常有必要的。重力测量卫星可以用于这类时变现象的监测。以GRACE卫星为例，其对长波时变重力场的时间分辨率可达10天，测定的大地水准面年变化率精度为0.01毫米每年。

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