Chirplet變換（）是在時頻分析中，將信號表示為一組稱為Chirplet的基底函數（Basis functions）的內積或線性組合。這個術語最早由 Steve Mann 於 1991 年提出。相較於標準的傅立葉轉換或小波轉換，Chirplet變換特別適合用來分析頻率隨時間變化（Chirp特性）的非穩態信號。
定義與概念
在 Steve Mann 的原始定義中，小波（Wavelet）是一段波的局部片段，而 Chirplet 類似地，是一段帶有時間窗的啁啾（Chirp）信號片段。在時頻域中，Chirplet 可以表現為旋轉、錯切（Sheared）等幾何變換，打破了傳統傅立葉轉換或小波轉換中，時頻表示必須與時間軸或頻率軸平行的限制。
後續學者進一步將 Chirplet 變換具體化為一種包含四個參數的原子分解（Four-parameter atomic decomposition）方法。在連續時間下，一個四參數的 Chirplet 原子可以表示為：
:\varphi_{t_0, f_0, \sigma, \eta}(t) = \frac{2^{1/4}}{\sigma^{1/2}} \exp\left(j2\pi\left(f_0 t + \frac{\eta}{2}t^2\right) - \frac{\pi(t-t_0)^2}{\sigma^2}\right)
其中，這四個獨立的參數分別控制了信號在時頻域上的幾何特性：
- t_0：控制中心時間（Central time），決定了原子在時間軸上的平移。
- f_0：控制初始頻率（Initial frequency），決定了原子在頻率軸上的平移。
- \sigma：控制縮放因子（Scaling factor），決定了時間窗的寬度與頻率的解析度。
- \eta：控制啁啾率（Chirp rate），決定了頻率隨時間變化的快慢，在時頻圖上對應於錯切（Shearing）的程度。
數學特性
根據信號處理理論，Chirplet 變換所使用的四參數原子集合是一種超完備且非正交（Over-complete and non-orthogonal）的基底集合。由於這些基底函數之間並不具備正交性，因此通常無法直接利用內積來得到精確的展開係數，而是需要搭配如匹配追蹤（Matching Pursuit）或基底追蹤（Basis Pursuit）等貪婪演算法來求解信號的最佳展開係數。
參見
- 時頻分析
- 小波轉換
- 分數傅立葉轉換
- 壓縮感知
參考文獻
- S. Mann and S. Haykin, "The Chirplet transform: A generalization of Gabor's logon transform", Vision Interface '91, June 3-7, 1991, pp. 205-212.
- S. Mann and S. Haykin, "The Chirplet Transform: Physical Considerations", IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 43, No. 11, November 1995, pp. 2745-2761.
- 國立臺灣大學電機工程學系 丁建均教授《時頻分析與小波轉換》課程講義
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