在數論上，維諾格拉多夫定理（Vinogradov's theorem）指的是任意大於某個充分大數字的奇整數可以表成三個質數之和的定理。這定理是弱哥德巴赫猜想，也就是「大於5的奇數都可以表示成3個質數之和」這猜想的弱化版本。這定理以在1930年代時將之證明出來的伊萬·維諾格拉多夫為名。哈代與李特爾伍德在此前就已證明說在假定廣義黎曼猜想的狀況下這定理成立，而維諾格拉多夫則成功地去掉了廣義黎曼假設成立的假設，無條件地證明了這敘述。
維諾格拉多夫定理的完整敘述給出了奇數可以表示成3個質數之和的方式數的漸近界；此外維諾格拉多夫原始證明的「充分大」本身並無明確定義，而2002年證明了10^{1346}是一個「充分大」的數字。此外透過地毯式搜尋，當時已知對所有大到10^{20}的數字弱哥德巴赫猜想都成立，因此只須對有限多個數字進行檢查以證明或否證弱哥德巴赫猜想；而在2013年，哈拉爾德·黑爾夫戈特宣稱自己證明了弱哥德巴赫猜想對任意大於5的數字都成立。
維諾格拉多夫定理的敘述
設是一個正實數，那麼有
:r(N)={1\over 2}G(N)N^2+O\left(N^2\log^{-A}N\right)
其中
:r(N)=\sum_{k_1+k_2+k_3=N}\Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3),
此處的\Lambda是馮·曼戈爾特函數，而G(N)的定義如下：
:G(N)=\left(\prod_{p\mid N}\left(1-{1\over{\left(p-1\right)}^2}\right)\right)\left(\prod_{p\nmid N}\left(1+{1\over{\left(p-1\right)}^3}\right)\right).
結果
若是奇數，那麼G(N)的值大約為1，因此對於任何充分大的而言，有N^2 \ll r(N)。藉由證明說冪大於一的質數次方對r(N)的貢獻大約為O\left(N^{3\over 2}\log^2N\right)，可證明以下公式：
:N^2\log^{-3}N\ll P(N)
其中P(N)指的是可表示成三個質數之和的方式數。
而這特別地表示說對於任意大於某個充分大數字的奇整數可以表成三個質數之和，也因此證明了弱哥德巴赫猜想至多可能有有限多個反例。
證明策略
這定理的證明使用了哈代-李特爾伍德圓法。首先定義指數和如次：
:S(\alpha)=\sum_{n=1}^N\Lambda(n)e(\alpha n)
此種情況下，有等式如次：
:S(\alpha)^3 = \sum_{n_1, n_2, n_3\leq N}\Lambda(n_1)\Lambda(n_2)\Lambda(n_3)e(\alpha(n_1+n_2+n_3))
= \sum_{n\leq 3N} \tilde{r}(n)e(\alpha n),
其中\tilde{r}表示了小於等於N的質數冪的表示數。因此有
: r(N) = \int_0^1 S(\alpha)^3 e(-\alpha N)\;d\alpha
若\alpha是一個形如\frac{p}{q}的有理數（其中跟是整數），那麼S(\alpha)可由質數在模q的同餘類上的分布給出。因此利用可計算出上述積分在有著小分母的有理點的小鄰域上的貢獻。一般把靠近上述有理點的實數集合給稱為優弧，而將其互補形式給稱為劣弧。由於上述區間主導整個積分之故，因此要證明此定理，就得算出取值為在劣弧中的\alpha時，S(\alpha)的上限。而這估計是整個證明最困難的部分。
若假定廣義黎曼猜想，那對於優弧的論證可直接用於劣弧上，而這是哈代與李特爾伍德在1923年所證明的部分；而維諾格拉多夫在1937年給出了|S(\alpha)|的無條件上界，他的論證始於簡單的篩法等式，而他對其中的項進行重排以將部分項相消。
在1977年發現了遠遠更簡單的論證，而他的論證基於後來稱為的公式。Vaughan證明了說在|\alpha-\frac{a}{q}|成立的情況下，有以下漸進式：
: |S(\alpha)|\ll \left(\frac{N}{\sqrt{q}} + N^{4/5}+\sqrt{Nq}\right)\log^4 N
利用Siegel–Walfisz定理，可處理大到\log N的任意冪次的q；此外用狄利克雷逼近定理，可得對於劣弧而言，有|S(\alpha)|\ll\frac{N}{\log^A N}。因此可得這積分在劣弧上的上界如次：
:\frac{CN}{\log^A N}\int_0^1|S(\alpha)|^2\;d\alpha \ll \frac{N^2}{\log^{A-1} N}
而這給出了這定理的誤差項。
參考資料
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- Chapter 8.
外部連結
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