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過度約束機構

Wikipedia · 2026-03-09 维基百科 👁 0 阅读

机械工程裡的過度約束機構（）是指一连杆机构的自由度，相較活動度公式計算所得的要多。活動度公式可以評估刚体系統的自由度，此系統的約束是各連桿之間以运动副所構成的。

若系統裡的連桿是在三維空間內移動，其活動度公式為
: M=6(N-1-j)+\sum_{i=1}^j f_i,
其中是系統連桿數，是接點（運動副） 數量，而是第個接點的自由度數。

若系統中的連桿是在某一平面上移動，或是相對某固定點的同心圓球上運動，其活動度公式為
: M=3(N-1-j)+\sum_{i=1}^j f_i.

若系統依其連桿和接點數量，計算所得的活動度甚至更低，但仍可以活動，即為過度約束機構。

過度約束的原因
過度約束的原因是因為機構中連桿幾何的獨特性，這是活動度公式沒有考慮到的。幾何的獨特性產生了「冗餘約束」，也就是多個運動副限制了同一個自由度上的運動，因此其真正的活動度，會比活動度公式所預測的要高。

過度約束機構的例子
多铰链的門
考慮雙鉸鏈型汽車行季箱的車門，依照活動度公式，其活動度為0，但其鉸鏈是同軸的，其活動度是1，第二個鉸鏈在運動學上是冗餘的。

平行四邊形連桿
像是平面四杆机构中，多曲柄連桿中若組成平行四邊形連桿，可以為了強度考量，再增加數根長度相同的連桿，不會影響活動度，此即為過度約束機構，像蒸汽機車裡的走行裝置（running gear）的例子一樣。

薩魯斯連桿
其中有六個連桿，以六個鉸鏈接點連接。

若考慮一般以六個連桿和六個鉸鏈接點組成的空間連桿，其活動度
: M = 6(N - 1 - j) + \sum_{i=1}^j f_i = 6(6-1-6) + 6 = 0,
因此只是不能動的結構。

薩魯斯連桿有一個自由度，但依活動度公式計算的結果為M = 0，其原因是其各連桿的尺寸，產生了一個允許運動的自由度。

貝內特連桿
由數學家在1903年發明的貝內特連桿也是過度約束結構的例子，是由四根連桿和四個旋轉接點所組成的空間連桿。

一般來說，由四個連桿和四個旋轉接點組成的機構，其活動度為
: M = 6(N - 1 - j) + \sum_{i=1}^j f_i = 6(4-1-4) + 4 = -2,
是高度約束的系統。

貝內特連桿可以活動的原因，也是和其特殊的尺寸組合有關。

貝內特連桿的幾何關係如下：令每一個連桿都編號，連續編號的連桿以旋轉接點連接（1號桿和4號桿也是相連的）。針對第i個桿，假設長度為di，相對旋轉接點軸的角度是ai。貝內特連桿需滿足以下的關係：
:\begin{align}
&d_1 = d_3, \quad a_1 = a_3\\
&d_2 = d_4, \quad a_2 = a_4\\
&\frac{d_1^2}{\sin^2a_1} = \frac{d_2^2}{\sin^2a_2}.
\end{align}

而且，連桿連接的方式，需使兩個相鄰連桿的共垂線，和其中任一連桿和其他相鄰連桿共垂線相交。

瓦特蒸汽機
]]
瓦特利用接近直線運動的四連桿，讓維持類似直線運動，可以不需使用轉換。

Hoberman機構
Hoberman機構的原理類似用曲柄驅動的，由於其特殊的幾何組態，因此可以活動。

同源連桿的組合
也可以將組合在一起，形成過度約束機構，若數量超過二個，就會產生依公式計算，活動度為負的過度約束機構。以下的動畫分別是將四桿耦合器同源連桿相組合，以及Watt II功能同源連桿相組合的圖。

File:Overconstrained mechanism 7R.gif|3R-R-3R Watt II功能同源.
File:Symmetric Watt II cognate (1).gif
File:Overconstrained mechanism 3RT3R.gif|3R-P-3R Watt II功能同源
File:Symmetric Watt II cognate (2).gif

參考資料
外部連結
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#连杆机构

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