在数学中，米尔恩-汤姆森方法（Milne-Thomson method）是一种用于在已知实部或虚部的情况下求解全纯函数的方法。 它以路易斯·梅尔维尔·米尔恩-汤姆森（Louis Melville Milne-Thomson）的名字命名。
简介
设 z = x + \mathrm{i}y 且 \bar {z}\ = x - \mathrm{i}y，其中 x 和 y 为实数。
设 f(z) = u(x,y) + \mathrm{i}v(x,y) 为任意全纯函数。
例 1：z^4 = (x^4-6x^2y^2+y^4) +\mathrm{i}(4x^3y-4xy^3)
例 2：\exp(\mathrm{i}z)=\cos(x)\exp(-y)+\mathrm{i}\sin(x)\exp(-y)
在他的文章中， 米尔恩-汤姆森考虑了在以下情况中求解 f(z) 的问题：
- 已知 u(x,y) 和 v(x,y)；
- 已知 u(x,y)，且 f(z) 在实轴上为实数；
- 仅已知 u(x,y)；
- 仅已知 v(x,y)。
他真正感兴趣的是问题3和4，但需要较简单的问题1和2的答案来证明问题3和4的答案。
同时已知实部和虚部
问题：已知 u(x,y) 和 v(x,y)；求 f(z)？
解答：f(z)=u(z,0)+\mathrm{i}v(z,0)
简而言之：可以通过将 x = z 和 y = 0 代入 u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y) 来得到全纯函数 f(z)。
例1：已知 u(x,y)=x^4-6x^2y^2+y^4 和 v(x,y)=4x^3y-4xy^3，我们可得 f(z)=z^4。
例2：已知 u(x,y)=\cos(x)\exp(-y) 和 v(x,y)=\sin(x)\exp(-y)，我们可得 f(z)=\cos(z)+\mathrm{i}\sin(z)=\exp(\mathrm{i}z)。
证明：
根据最初的定义对 x = \frac{z + \bar {z}}{2} 和 y = \frac{z - \bar {z}}{2\mathrm{i}}。
因此 f(z)= u \left( \frac{z + \bar {z}}{2}\ , \frac{z - \bar {z}}{2\mathrm{i}}\right) + \mathrm{i}v\left( \frac{z + \bar {z}}{2}\ , \frac{z - \bar {z}}{2\mathrm{i}}\right) 。
即使当 x 和 y 不是实数时这也是一个恒等式，即可以将 z 和 \bar {z}\ 这两个变量视为相互独立。令 \bar {z} =z 我们得到 f(z) = u(z,0) + \mathrm{i}v(z,0) 。
仅已知实部
问题：已知 u(x,y)，未知 v(x,y)，且 f(x+\mathrm{i}0) 为实数；求 f(z)？
解答：f(z)=u(z,0)。
此处仅适用例 1：已知 u(x,y)=x^4-6x^2y^2+y^4 我们可得 f(z)=z^4。
证明：f(x+\mathrm{i}0) 为实数意味着 v(x,0)=0。在这种情况下，问题1的解答就变成了 f(z)=u(z,0)。
一般形式
问题：已知 u(x,y)，未知 v(x,y)；求 f(z)？
解答：f(z)=u(z,0)-\mathrm{i} \int u_y(z,0) \,\mathrm{d}z（其中 u_y(x,y) 是 u(x,y) 偏导于 y 的偏导数）。
例1：已知 u(x,y)=x^4-6x^2y^2+y^4 和 u_y(x,y)=-12x^2y+4y^3 我们得到 f(z)=z^4+\mathrm{i}C ，其中 C 为待定的实常数。
例2：已知 u(x,y)=\cos(x)\exp(-y) 和 u_y(x,y)=-\cos(x)\exp(-y) 我们得到 f(z)=\cos(z)+\mathrm{i}\int\cos(z)\,\mathrm{d}z=\cos(z)+\mathrm{i}(\sin(z)+C)=\exp(\mathrm{i}z)+\mathrm{i}C。
证明：这可由 f(z)=u(z,0)+\mathrm{i} \int v_x(z,0) \,\mathrm{d}z 以及柯西-黎曼方程的第二个等式 u_y(x,y)=-v_x(x,y) 推导得出。
仅已知虚部
问题：未知 u(x,y)，已知 v(x,y)；求 f(z)？
解答：f(z)=\int v_y(z,0)\,\mathrm{d}z+\mathrm{i} v(z,0)。
例1：已知 v(x,y)=4x^3y-4xy^3 和 v_y(x,y)=4x^3-12xy^2 我们得到 f(z)=\int 4z^3\,\mathrm{d}z+\mathrm{i}0=z^4+C，其中 C 为待定的实常数。
例2：已知 v(x,y)=\sin(x)\exp(-y) 和 v_y(x,y)=-\sin(x)\exp(-y) 我们得到 f(z)=-\int\sin(z)\,\mathrm{d}z+\mathrm{i}\sin(z)=\cos(z)+C+\mathrm{i}\sin(z)=\exp(\mathrm{i}z)+C。
证明：这可由 f(z)=\int u_x(z,0) \,\mathrm{d}z +\mathrm{i} v(z,0) 以及柯西-黎曼方程的第一个等式 u_x(x,y)=v_y(x,y) 推导得出。
参考文献
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