Chebychev–Grübler–Kutzbach公式

Chebychev–Grübler–Kutzbach公式（）也稱為活動度公式（），是有關运动链（一組有力學約束剛體的組合，也稱為连杆机构）之自由度的公式。

Chebychev–Grübler–Kutzbach公式是用連杆和接點的數量，以及每個接點的自由度來計算連桿可能的組態變化情形。

有些機構有特殊的幾何特徵及尺寸，使得自由度比Chebychev–Grübler–Kutzbach公式預測的更高。這類設備稱為過度約束機構。

活動度公式
活動度公式會計算定義這組剛體位置的參數數量，再減去各接點所產生的約束

想像一個球形的海鷗。不受約束的海鷗可以在三度空間內有六個運動的自由度，其中三個是移動的自由度（例如x方向、y方向和z方向），另外三個是轉動的自由度（翻滾、俯仰、偏擺）。

一個由n個無約束剛體組成的系統（n隻翱翔的海鷗）,其對固定參考系下的自由度是6n。固定參考系可以自由選定，這個參考系甚至可以是局部的或主觀的：從某一隻海鷗的觀點來看，它沒有動，是世界在動。因此作為參考系的固定構件也要算在剛體的數量中（以一群海鷗的例子，考慮是從海鷗A的視角，可能海鷗A站在海灘上，也可能海鷗A正在飛，但以當時所在位置的視角來看），而其活動度和所選擇哪個構件作固定參考系無關。因此，系統的活動度為 M = 6(N-1)，其中N=n+1是構件加上固定構件的總數。

連接系統中剛體的接點會減少自由度，因此也會減少系統的運動度。像鉸鏈限制了3個平移自由度和2個轉動自由度，總共減少5個自由度，滑塊也是減少5個自由度。一般來說，常會將接點的約束個數c用接點的自由度f來表示，其中c = 6 - f。鉸鏈或滑塊都有一個自由度， f = 1，因此 c = 6 - 1 = 5。

結果就是由n個活動剛體和j個接點，其自由度分別是f_i， i = 1, ..., j,，的系統，其活動度為
: M = 6n - \sum_{i=1}^j\ (6 - f_i) = 6(N-1 - j) + \sum_{i=1}^j\ f_i.

其中的N有將固定構件考慮在內。

有兩種特殊的連桿，分別是單一開鏈（simple open chain）和單一閉鏈（simple closed chain）。

單一開鏈有n個移動件，由j個接點連接，而其中有一個接點接到固定構件。單一開鏈的每一個接點都連接兩個構件，因此j個接點的構件數量是N = j + 1，開鏈的活動度是
: M = \sum_{i=1}^j\ f_i

單一閉鏈有n個移動件，由n + 1個接點連接，有二個接點接到固定構件，形成封閉的環。此時，N = j，因此活動度是
: M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 6

像串聯機械臂（serial robot manipulator）就是單一開鏈。這種機器手臂會由許多構件組成，中間有六個轉動接點或是滑動接點，因此有六個自由度。

RSSR空間四連桿屬於單一閉鏈。接點的自由度總和為8，因此該連桿機構的活動度（Mobility）為2；其中一個自由度是連桿繞著連接兩個S接點（球副）之連線的自轉。其接點自由度的總和是8，此連桿的活動度是2。

平面運動和球面運動
连杆机构常會設計使所有元件的運動都在平行的數個平面上，這稱為平面連桿，也可以設計讓所有元件的運動都在同心的數個球面上，稱為球面連桿。這兩種連桿裡，每一個元件的自由度都只有三，接點的約束個數會是c = 3 − f.

此情形下的活動度公式為
:M = 3(N- 1 - j)+ \sum_{i=1}^j\ f_i,
上述的特例變成

• 平面或是球面的單一開鏈

: M = \sum_{i=1}^j\ f_i,

• 平面或是球面的單一閉鏈

: M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 3.
像平面四杆机构就是平面單一閉鏈的例子，是四桿形成的環，有四個一個自由度的接點，因此活動度M = 1。

相關條目
*

• 平面四杆机构
• 連桿
• 机器
• 過度約束機構

參考資料
延伸閱讀
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外部連結

• [https://www.cs.cmu.edu/~rapidproto//mechanisms/chpt4.html Basic kinematics of rigid bodies]