麦凯维-斯科菲尔德混沌定理（）是社会选择理论中的一个重要结论。该定理指出，在多维政策空间中，多数决原则通常会导致不稳定的结果。在大多数情况下，不仅不存在（即没有一个选项能在成对比较中击败所有其他选项），而且议程的设定者可以通过精心安排一系列投票，使得任何一个备选政策（无论其优劣）都能击败最初的政策，并最终当选。这意味着，通过增加备选方案或改变投票顺序（即“议程操控”），就可以任意地决定最终的赢家。 在这种设定下，每位选民的效用函数具有以下形式：

U_i(x)=\Phi_i \circ d(x,x_i)

此处，代表任意政策点，是选民i的最优理想点，是欧几里得距离，而\Phi_i是一个单调递减函数。

在这些条件下，一个政策集合可能不存在多数决下的。这意味着，对于给定的政策、、，可能出现投票循环（voting cycle）：

在多数决中战胜

在多数决中战胜

在多数决中战胜

麦凯维的证明进一步指出，选举的“混乱”程度远不止于此：若系统中不存在均衡点，那么对于空间中任意两个政策点和，都必然存在一个政策序列 X_1, X_2, ..., X_s，使得：

在多数决中战胜

在多数决中战胜

...

在多数决中战胜

这一结论的惊人之处在于，它与和在直接比较下的胜负关系无关。这意味着，通过一系列精心设计的中间投票，可以从任何起点到达任何终点。

示例
最简单的示例是三位选民在二维政策空间中的情况。此时，每位选民都有一个最偏好的“理想点”，其偏好程度则由一系列以该理想点为中心的圆形无差异曲线表示。对于任意一个给定的政策点，总能找到一个位于至少两位选民的更优集（即无差异曲线所包围的区域）交集内的新政策点，而这个新政策点能够通过多数决击败前者。这意味着，平面上的几乎任何一个点，都存在一个能被三分之二多数（即两位选民）所偏好的点集来击败它。

推广
将该定理推广至更一般的效用函数，仅要求其可微即可。他还分析了政策点之间存在一种有向连续路径的条件，沿这种路径前进所达的任意一点都能在多数决中击败先前的政策点。 后来，Jeffrey S. Banks发现斯科菲尔德的部分证明存在瑕疵，并给出了修正后的证明。

参考文献