會圓術

會圓術，现代数学名称是弓形弧长的沈氏级数近似法，是從《九章算術》的「方田」章所載的「弧田術」的基礎發展而成，并由中国宋代的沈括在他的《夢溪筆談》一書中正式提出的，但作者沈括并未给出这一公式的推导。

所謂「會圓術」就是已知弓形的高和所在圆直径，通过勾股定理求出弓形的弦长，进而求出弓形弧長的方法。即：L\approx \frac{2h^2}{d}+l或L\approx \frac{h^2}{r}+2c。其中L为弧长， d 和r分别為弧所在的圓的直径和半径，l和c分别為弓形的弦长和半弦长，h 為弓形的高。

元代王询、郭守敬等人在推算《授时历》的过程中，曾應用会圆术推算“赤道積度”（太陽赤經余弧）和“赤道內外度”（太陽赤緯），類似歐美的球面三角形的公式。但由於会圆术弧矢公式易出現误差，圆心角越大，誤差越大，推得的周天直径不够精确，因而其结果也就不十分精确。而計算方法僅限於勾股定理，不知利用三角函數的正切，由弧度求弦矢，计算過於繁琐。明朝末年制定《崇祯历书》则由徐光啓直接引进西方数学。

现代数学解释
弧长的沈氏数值解法是从《九章算术》中的“方田”章发展出来的，使用了解析意义上并不准确的公式进行推导，得出了一个二级结果，在弓形高较短，内角正弦值较小的时，适用此公式。从现代数学意义上来看，这个公式的原理主要是对弓形弧长公式泰勒展开级数近似的数值逼近，推导如下。

对弓形弧长公式（1式）：

L = 2r\arcsin\sin\frac{c}{r}

中\arcsin\sin\frac{c}{r}（c为弓形半弦长）泰勒展开（2式）：

\arcsin\sin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40}\cdots

2式再代入回1式中，有：

L = 2c + \frac{c^3}{3r^2}+ \frac{3c^5}{20r^4}\cdots

此时，同时存在c关于r（c^2 = 2rh - h^2 ）的展开：

c = \sqrt{2rh} ( 1 - \frac{h}{4r}+ \frac{h^2}{32r^2}\cdots)

将c的展开也代入，可以解得：

L = c + \frac{c^4}{2r^3}\cdots

将第二项的四次方除以三次方近似视作二次方除以一次方，就得到沈括公式的严格形式：

L = c + \frac{c^2}{2r}\cdots

因为此时c并不大，所以将其近似为 L = 2c + \frac{h^2}{r}时，主项和精确展开一致，修正项在c很小时差值不大，因此将这个式子整理：

L = 2c + \frac{h^2}{r}

即是沈括公式。

内容
沈括说：“履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。”，“拆”即将圆割掉一个弓形，“会”意为合，也就是把“拆”掉的圆再复原回去，因此沈括又将这种方法称为“拆会之术”。

已知圆的直径和弓形的高，沈括先用勾股定理求出弓形的弦长：“置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径”。“所割之数”指弓形的高，而“直径”指的是弓形的弦长，不是圆的直径。即l=2\sqrt{(\frac{d}{2})^2-({d}-h)^2}，其中l為弓形的弦长， d 為弧所在的圓之直径，h 為弓形的高。然后“以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧”。即c\approx \frac{2h^2}{d}+l，其中c为弧长。

推导过程
虽然沈括没有给出他的推导过程，但可以根据《九章算術·方田》中的「弧田術」、「宛田術」和「圭田術」（即弓形、扇形和三角形面积公式）得到沈括的公式。

「弧田術」认为：弓形面积\approx“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即\frac{hl+h^2}{2}，l為弓形的弦长，h 為弓形的高；

「宛田術」指出：扇形面积=“以徑乘周，四而一”，即\frac{1}{4} {c}\times{d}，c为弧长，{d}为所在的圓之直径；

「圭田術」指出：三角面积=“半廣以乘正從”，即\frac{1}{2}底\times高，则弓形所在扇形的圆心与弓弦围成的三角形面积=\frac{1}{2}{l}{(r-h)}。

弓形所在扇形面积=弓形面积+该扇形圆心与弓弦围成的三角形面积，即

\frac{1}{4} c\times{d}\approx \frac{hl+h^2}{2}+ \frac{1}{2}{l}{(r-h)}，化简整理：

rc\approx {hl+h^2}+{lr}-{lh}

c\approx \frac{h^2}{r}+l= \frac{2h^2}{d}+l

因为所依据的「弧田術」是错误的弓形面积公式，所以「會圓術」計算所得的弓形弧长也不正确，只是近似值，偏差随圆心角增大而增大。

注釋
外部連結
*[http://kss.hkcampus.net/~kss-wsf/theory.htm#circle2 會圓術]