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阿特伍德機

Wikipedia · 2026-05-02 维基百科 👁 1 阅读

阿特伍德機（Atwood machine，又譯作阿特午德機或阿特午機），是由英國牧師、數學家兼物理學家的乔治·阿特伍德在1784年发表的《关于物体的直线运动和转动》一文中提出的，用於測量加速度及驗證運動定律的機械。此機械現在經常出現於學校教學中，用來解釋经典物理學的原理，验证力學中做恒定加速度运动的运动规律。

一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量m1和m2，及由無重量、無彈性的繩子連結並包覆理想且無重量的滑輪。

當m_1 = m_2，无论兩物體在何位置、機器處於力平衡的狀態。當m_2 > m_1时，兩物體皆以大小相等的加速度做运动。

恆定加速度的方程式
我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性，滑輪理想（無視半徑）且無重量，那麼我們只需要考慮張力（T），還有兩個物體的重量（mg）。先找出個別影響兩物體的力,當m_2 > m_1时,

m1的力:
\; T-m_1g

m2的力:
\; m_2g-T

利用牛頓第二運動定律, \; T-m_1g = m_1 a , \; m_2g-T = m_2 a 。
将这两个方程式相加, 我們可以得到整個系統的恒定的加速度的方程式。定义合力\sum F, 我们有 \sum F=(m_2g-T)+(T-m_1g)=g(m_2-m_1) 。

\sum F=ma

a={\sum F \over m}

\sum F=g(m_2-m_1)

\;m=(m_1+m_2)

a = g{m_2-m_1 \over m_1+m_2}

阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學中獲得的運動方程式。

计算張力的方程式
上述的方程式也可用來計算繩子上的張力，只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。

a = g{m_2-m_1 \over m_1+m_2}

例如代入m_1a = T-m_1g，我們得到

T=g{2m_1m_2\over m_1+m_2}

藉由同樣的方法，張力也可以從m_2a = m_2g-T中求得。

有轉動慣量滑輪和摩擦存在的情况
若m1與m2之間的重量差别很小時，半徑为（r）的滑輪的轉動慣量（I）不可以被忽略。当不打滑时，滑輪的角加速度可以從以下算式求得：

\alpha = {a\over r}

在此情況下，作用于滑輪上的總力矩為：

\tau_{Total}=\left(T_2 - T_1 \right)r - \tau_{friction} = I \alpha

把该方程式与两个垂吊物体的方程式 \; T_1-m_1g = m_1 a , \; m_2g-T_2 = m_2 a 联合求解 \; T_1 , \; T_2 和 \; a ，我们得到：

a = {g(m_2-m_1)- {\tau_{friction}\over{r} } \over { m_1+m_2 + {{I}\over{r^2}}}}

T_1 = {m_1g(2m_2+{{I}\over{r^2}}+ {\tau_{friction}\over{rg}} ) \over { m_1+m_2 + {{I}\over{r^2}}}}

T_2 = {m_2g(2m_1+{{I}\over{r^2}}+ {\tau_{friction}\over{rg}} ) \over { m_1+m_2 + {{I}\over{r^2}}}}

參考

#物理學實驗 #力学

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