在电磁学中，坡印亭定理（）是偏微分方程形式說明电磁场的能量守恒的定理，由英国物理学家约翰·亨利·坡印廷发现。坡印亭定理类似于经典力学中的功-能原理，在数学形式上与连续性方程相似。它把能量密度的时间导数，能量的流动，和电磁场做功的速率联系起来。
陈述
一般形式
此定理概念上是指能量守恆：
此定理还有一种陈述：
数学上，用微分形式概括为：
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = -\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{S}+\mathbf{J}_f\cdot\mathbf{E}
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
其中 \nabla \cdot \mathbf{S} 是坡印亭矢量（能量流）的散度，而 \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} 是场中带电物体做功的功率（\mathbf{J} 为对应于电荷运动的自由电流密度，\mathbf{E} 为电场强度，\cdot 为点积）。能量密度 u 为：
:u = \frac{1}{2}\left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\right)
其中 D 是电位移矢量，B 是磁感应强度而 H 是磁场强度，ε0 是真空電容率，μ0 是真空磁导率。 由于电荷可以自由移动，D 与 H 场忽略任何束缚电荷和电流的电荷分布（由定义），J 是自由电流密度，不是全电流的电流密度。
利用散度定理，坡印亭定理可以改写为积分形式：
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = {{oiint
| preintegral = -\frac{\partial}{\partial t} \int_V u dV=
| intsubscpt = \scriptstyle \partial V
| integrand = \mathbf{S}\cdot d\mathbf{A} + \int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}dV
}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
其中 \partial V \! 为 V 的边界。该体积的形状似任意的但对于计算是固定的。
電機工程
在電機工程中，该定理通常写成以下把能量密度 u 展开的形式，這與流體力學之连续性方程相似：
:
\nabla\cdot\mathbf{S} +
\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} +
\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0,
其中
*\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} 是驱动电场建立的无功功率的密度，
*\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} 是驱动磁场建立的无功功率的密度，
*\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} 由洛仑兹力作用在载流子上损耗的电功率的密度。
推导
虽然能量守恒定律和洛伦兹力定律可以导出该定理的一般形式，要推导坡印亭矢量的表达式并由此完整叙述，还需要用到馬克士威方程組。
坡印廷定理
考虑到以上叙述 - 这个定理有三个元素，涉及将（单位时间）能量转移写成体积分：
{{ordered list
|1= 因为 u 是能量密度，对整个体积区域积分得到区域内储存的总能量 U，再对时间求（偏）导数得到能量变化率：
: U=\int_V u dV \ \rightarrow \ \frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \int_V u dV = \int_V \frac{\partial u}{\partial t} dV .
|2= 离开区域的能流为坡印亭矢量的曲面积分，使用散度定理可以将其写作：
:{{oiint
| preintegral =
| intsubscpt = \scriptstyle \partial V
| integrand = \mathbf{S}\cdot d\mathbf{A}=\int_V\nabla\cdot \mathbf{S} dV .
}}
|3= 把某一电荷分布上的洛伦兹力密度 f 在整个体积上积分得到总受力 F 为
: \mathbf{f} = \rho\mathbf{E}+\mathbf{J}\times\mathbf{B} \ \rightarrow \ \int_V \mathbf{f} dV = \mathbf{F} = \int_V (\rho\mathbf{E}+\mathbf{J}\times\mathbf{B} )dV ,
其中 ρ 为该分布的電荷密度而 v 为其速度。因为 \mathbf{J} = \rho \mathbf{v}，该力做功的速率为
: \mathbf{F}\cdot\frac{d \mathbf{r}}{dt} = \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} = \int_V (\rho\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}+\rho\mathbf{v}\times\mathbf{B}\cdot \mathbf{v} )dV \ \rightarrow \ \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} = \int_V \mathbf{E}\cdot \mathbf{J}dV .
}}
所以，根据能量守恒定律，单位时间内的能流平衡方程是该定理的积分形式：
:-\int_V\frac{\partial u}{\partial t}dV = \int_V\nabla\cdot\mathbf{S}dV+\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}dV,
由于体积 V 是任意的，对所有体积来说都是成立的，这意味着
:- \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{S} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E},
这是坡印廷定理的微分形式。
坡印亭矢量
从定理可以得到坡印亭矢量 S 的实际形式。能量密度的时间导数（运用向量点乘的乘积法则）为
: \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}
\left(\mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}
- \mathbf{D}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
- \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
- \mathbf{B}\cdot\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}\right)=
\mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}
- \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},
使用本构关系
:\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E},\quad \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}.
时间偏导意味着要用到馬克士威方程組的两个方程。求麦克斯韦–法拉第方程与 H 的点积：
:\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E} \ \rightarrow \ \mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E},
再求麦克斯韦–安培方程与 E 的点积：
:\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{J} = \nabla \times \mathbf{H} \ \rightarrow \ \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} = \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H}.
总和目前的结果得到：
: \begin{align}
-\nabla\cdot\mathbf{S} & = \frac{\partial u}{\partial t} +\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \\
& = \left(\mathbf{H}\cdot\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right) + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \\
& = \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H} - \mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E}, \\
\end{align}
然后，利用向量微积分恒等式：
:\nabla \cdot\mathbf{E} \times \mathbf{H}=\mathbf{H}\cdot\nabla \times \mathbf{E} - \mathbf{E}\cdot\nabla \times \mathbf{H},
给出了坡印廷矢量的表达式：
:\mathbf{S} =\mathbf{E} \times \mathbf{H} ,
物理上意味着由于时变电场和磁场的能量传递与这两种场垂直。
参见
*坡印亭矢量
参考文献
外部链接
*[http://scienceworld.wolfram.com/physics/PoyntingTheorem.html ScienceWorld上的“坡印亭定理”]
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