》1687年版本裏，以拉丁文撰寫的牛頓第一定律及牛頓第二定律]]
在经典力学中，牛頓第二運動定律（Newton's second law of motion）又称牛顿第二定律（Newton's second law）、加速度定律（law of acceleration），简言之，是指物体受到外力作用时，会沿合外力方向产生一加速度，此加速度大小与合外力大小成正比而与物体质量成反比。
牛顿第二定律其精确描述为：作用在质量不变的物体上的合外力，等于物体的惯性质量与其质心加速度的乘积。此定义特指“质心加速度”，是因为牛顿当初提出的第二定律是针对质点模型的讨论，仅涉及平动的情况，属于质点动力学的范围。在刚体动力学中，物体可能同时存在平动与转动，此时牛顿第二定律仅能描述其质心的运动状态，而物体的转动状态则需由转动定律（或称欧拉第二定律）来描述。对于宏观物体，第二定律表达合外力与质心加速度的关系，且该关系与物体的转动状态无关。
牛顿第二定律定义的本质是：物体所受的合外力，等于其动量对时间的变化率（即：一阶导数、一次微分值），此处又称动量定律（law of momentum），其涵盖了质量可能发生变化的情况。对于绝大多数宏观物体，质量是常数；但是在变质量系统中，例如不断喷出燃气的火箭其自身质量随时间而减小，必须使用“动量时变率的形式”来阐明第二定律。当物体在运动中质量不变时，第二定律亦可用上述质量与加速度的乘积表示。
1687年，英國物理學家艾薩克‧牛頓在巨著《自然哲學的數學原理》裏，提出了牛頓運動定律，共有三條定律，其全称分別為：牛顿第一運動定律、牛顿第二運動定律與牛頓第三運動定律。牛頓第二定律由于是运动定律的核心，有时仅简称「運動定律」。
概述
牛頓第二定律表明，施加於物體的外力等於此物體動量的時變率：
:\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}；
其中，\mathbf{p}是動量，t是時間。
由於動量等於質量乘以速度，所以，假若質量不變，則可得到加速度形式的牛頓第二定律，假若質量隨著時間流易而改變，則該系統為可變質量系統，必須將時變質量納入考量，更多內容，請參閱可變質量系統。
加速度形式的牛頓第二定律
當運動中的物體質量不變時，牛頓第二定律可以表述為：物體所受到的外力等於質量與加速度的乘積，而加速度与外力同方向。以方程式表達，
:\mathbf{F} = m\mathbf{a} ；
其中，\mathbf{F} 是外力，m 是質量，\mathbf{a} 是加速度。
按照第二定律，設定物體的質量不變，則物體的加速度與所受到的外力成正比，設定物體所受到的外力不變，則物體的加速度與質量成反比。
假設施加外力於某物體，則由於該物體的加速度只與外力、質量有關，在任何狀況下，質量不變的物體都會表現出同樣的加速度：{{notetag|按照狹義相對論，加速度與物體的速度有關，因為，在高速度狀況下，物體的質量與速度有關：
*決定性：牛頓第二定律是一種決定性定律。假定物體的質量、初始位置與初始速度為已知量，則從施加於物體的外力，可以應用牛頓第二定律來計算出物體在其運動軌跡的任意時間的位置與速度。
牛頓的論述
（1643–1727）]]
《自然哲学的数学原理》的第二定律的原文是：
原文中的“运动”（，）指的是动量。
牛頓對於動量與衝量彼此之間的關係的作解釋：「假設施加於物體的衝量造成了物體的動量改變，則雙倍的衝量會造成雙倍的動量改變，三倍的衝量會造成三倍的動量改變，不論衝量是全部同時施加，還是一部分一部分慢慢地施加，所造成的動量改變都一樣。
動量改變與原先動量之間的關係：這動量改變必定與施加的衝量同方向。假設在衝量施加之前，物體已具有某動量，則這動量改變會與原先動量相加或相減，依它們是同方向還是反方向而定，假設動量改變與原先動量呈某角度，則最終動量是兩者按著角度合成的結果。」
牛頓所使用的術語的涵意、他對於第二定律的認知、他想要第二定律如何被眾學者認知、以及牛頓表述與現代表述之間的關係，科學歷史學者對於這些論題都已經做過廣泛地研究與討論。
進階論述
任何物理定律都必須具有可证伪性，即必須能夠對於物理定律做實驗證實是否正確。
在對於質量與力給出定義後，按照這些定義裡的定量描述來測量物體的質量與物體的受力，再加上從觀測物體的運動得到的加速度，就可以很容易地檢試牛頓第二定律的正確性。
力的定義
很多常用教科書對於力的定義不盡人意。在大衛·哈勒代與著作的教科書《》裡，力被定義為造成物體加速的作用。類似地，在《》教科書裡，力也被定義為兩個物體之間或物體與環境之間的作用。但是，它們都沒有對於「作用」給出解釋。在《科學家與工程師的物理》教科書裡，將力定義為造成物體改變速度的影響。那麼，「影響」又是甚麼呢？在撰寫的教科書裡，力的定義是可以直覺地被人們體驗為對於物體的「推」或「拉」。可是，作者並未進一步解釋推或拉怎樣改變物體的運動狀態。這些都無法對於力這基礎術語用更為基礎的概念來表達。
，可以實現對於標準單位力的任意分數倍。如上圖所示，當F_1是F_2的三分之一時，槓桿會呈靜態平衡狀態。]]
古斯塔夫·基爾霍夫首先提議，將力定義為質量與加速度的乘積。{{NoteTag|有些學者認為由於力與動量的時間變率有關，而動量被定義為質量與速度的乘積，因此只有在質量被嚴格定義之後，力的定義才顯得完全，所以，第一定律與第二定律並不是真正的定律，它們應該被視為定義。又有些學者認為，力的概念過於艱澀，最好能夠迴避引入力的概念，而最簡單的方法就是詮釋第二定律為力的定義。
有些學者主張使用操作定義的方法來對於力給出嚴格定義，假設兩條同樣的彈簧被延伸同樣的距離，其各自產生的「彈力」（一種物理現象）相等，則將這兩條彈簧並聯，可以製成兩倍的彈力，又將一物體的兩邊分別連接這兩條彈簧的末端，使彈力方向相反，則作用於物體的合力為零，物體的運動狀態不會改變。為了對於彈力給出定量描述，設定「標準單位力」為某特定彈簧延伸特定距離所產生的彈力。稱這特定彈簧為「標準彈簧」。任意整數倍的標準單位力都可以用幾條標準彈簧所組成的系統來實現，對於標準單位力的任意分數倍，可以應用阿基米德的槓桿原理來實現。彈簧系統可以用來做測量實驗，對於任意力做比較，給出它的測量值。例如，假設懸掛於兩條標準彈簧的一個物體，正好能夠將這兩條標準彈簧延伸特定距離，則這物體的重量等於兩個標準單位力。
質量的定義
雖然質量在物理學教育裡佔有中心地位，人們並不很清楚質量的概念，很多教科書對於質量的定義也不甚令人滿意，它們都有一些重大瑕疵。這些定義所涉及到的困難，大部分出現於將經典描述融入現代描述的後果之中，而且清楚地在相對論、量子色動力學、強相互作用理論等等現代理論裡顯現出來。
從測量的角度來看，牛頓並沒有給出任何測量密度的方法，所以，也沒有給出測量質量的方法。牛頓不能對於質量與密度同時給出定義，因此，質量並未被嚴格定義。但是，牛頓的想法並不是這樣，他把物體視為由很多微小的基本粒子均勻組成的聚集體，他認為這聚集體的結構是更為基礎的概念，在計算物體的質量時，他會數算物體的小粒子數量，這數量乘以每個基本粒子的質量就是物體的質量。因此，只要設定某參考物體S的質量為標準質量，這參考物體S可以是石頭、金塊或鐵塊．那麼，n個物體S的質量必定是這標準單位質量的n倍。
慣性質量
另一種定義是基於慣性的概念。在這定義裡，質量被用來量度物體對於改變它的運動狀態的抗拒能力。因此被稱為「慣性質量」。然而，不管這定義是如何真確，它並沒有給出量度質量的方法，人們無法直接估算物體的質量數值，因此，這定義似乎更像是一種形而上學定義。
:\frac{a_{AB}}{a_{BA}}=k_{BA}；
其中，k_{BA}是標量常數。
標量常數k_{BA}的恆定不變可以被視為力學的一條基礎定律，其為從做實驗獲得的結果。馬赫特別為此提出「實驗命題」：在實驗物理學設定的狀況下，兩個物體引發對方沿著彼此連線各自呈現相反的加速度方向，而加速度的比率為常數，並且與物體的物理狀態無關。
設想另一個物體C，由於物體C與A、C與B彼此之間的相互作用，按照第一實驗命題，除了暗物質理論以外，修正牛頓動力學理論也可以用來解釋星系自轉問題。 這理論的適用區域大約在加速度為a_0\approx 2\times 10^{-10}\;\mathrm{m /s^2}的數量級。為了符合天文物理學數據，這理論將牛頓第二定律修改為
衝量
假設施加外力 \mathbf{F} 於某物體的時間有 \Delta t 那麼久，則這等於施加衝量 \mathbf{J} 於此物體：
: \mathbf{J} = \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t 。
根據現代的第二定律，
:\mathbf{F} =m\mathbf{a} 。
經過 \Delta t ，假定質量不變，動量 \mathbf{p} 的改變為
: \Delta \mathbf{p} = m\Delta\mathbf{v}=m\int_{\Delta t} \mathbf{a} \,\mathrm{d}t= \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t 。
所以，衝量與動量之間的關係式為
:\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p} 。
這就是原版第二定律。
衝量的概念時常被用來分析碰撞與撞擊問題。
可變質量系統
火箭的燃料經過燃燒以後，會產生高溫高壓氣體，經過加速排氣到外界，就可以推動火箭前進。第二定律不能直接應用於這種可變質量系統。基本而言，第二定律只能應用於單獨粒子（或理想化為粒子的物體），其質量守恆。對於多粒子系統案例，必需將第二定律加以延伸為
:\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(M\mathbf{v}_\mathrm{cm}) ；
其中，\mathbf{F}_{\mathrm{ext}} 是施加於系統的淨外力，\mathbf{p} 是系統的動量，M 是系統的總質量，\mathbf{v}_\mathrm{cm} 是系統質心的速度。
假設淨外力\mathbf{F}_{\mathrm{ext}}為零，則動量守恆，即最初動量\mathbf{p}_i等於最終動量\mathbf{p}_f：
:\mathbf{p}_i=\mathbf{p}_f。
假設在時間在時間t與t+\mathrm{d}t之間，火箭的質量從m變為m+\mathrm{d}m，即質量為-\mathrm{d}m的燃料被燃燒與排出，燃料排出時的速度為\mathbf{U}，火箭的速度從\mathbf{v}變為\mathbf{v}+\mathrm{d}\mathbf{v}，那麼，動量守恆方程可以寫為
:m\mathbf{v}=(m+\mathrm{d}m)(\mathbf{v}+\mathrm{d}\mathbf{v})-\mathbf{U}\mathrm{d}m 。
注意到火箭速度\mathbf{v}與燃料速度\mathbf{U}都是從發射台參考系觀測到的速度。那麼，相對於火箭參考系．燃料排出的相對速度\mathbf{v}_{rel}為
:\mathbf{v}_{rel}=\mathbf{U}-\mathbf{v}-\mathrm{d}\mathbf{v}。
經過一番運算，可以得到
:\mathbf{v}_{rel}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t}=m{\mathrm{d}\mathbf{v}\over \mathrm{d}t}。
對於像火箭一類的可變質量系統，必需將第二定律的方程式添加一個項目，這項目專門計算進入或離開火箭的質量所帶有的動量：
:\mathbf{F}_{ext}+ \mathbf{v}_{rel} \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d}\mathbf{v}\over \mathrm{d}t}；
其中，\mathbf{F}_{ext} 是施加於火箭的外力，例如地球施加於火箭的重力。
火箭的推力定義為
:\mathbf{F}_t\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{v}_{rel} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} 。
將這定義式代入，可以得到
:\mathbf{F} = m \mathbf{a}
其中，\mathbf{F}=\mathbf{F}_{ext}+\mathbf{F}_t 是外力與推力的向量和。
參閱
物理教授瓦尔特·列文（）講解牛頓第二定律。 ([https://web.archive.org/web/20170209230310/https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/video-lectures/lecture-6/ MIT OCW])]]
*伊萨克·牛顿
*牛頓運動定律
**牛頓第一運動定律
**牛頓第二運動定律
**牛頓第三運動定律
*物理学定律列表
註釋
參考文獻
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*（請上網閱讀作者Andrew Motte的英文翻譯）
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