在量子力學裏，一個量子系統的量子態可以抽象地用態向量來表示。態向量存在於內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的向量空間。態向量滿足向量空間所有的公理。態向量是一種特殊的向量，它也允許內積的運算。態向量的範數是1，是一個單位向量。標記量子態\psi\,\!的態向量為|\psi\rangle\,\!。
每一個內積空間都有單範正交基。態向量是單範正交基的所有基向量的線性組合：
:|\psi\rangle=c_1|e_1\rangle+c_2|e_2\rangle+\dots+c_n|e_n\rangle\,\!；
其中，|e_1\rangle,\,|e_2\rangle,\,\dots,\,|e_n\rangle\,\!是單範正交基的基向量，n\,\!是單範正交基的基數，c_1,\,c_2,\,\dots,\,c_n\,\!是複值的係數，是|\psi\rangle\,\!的分量，c_i\,\!是|\psi\rangle\,\!投射於基向量|e_i\rangle\,\!的分量，也是|\psi\rangle\,\!處於|e_i\rangle\,\!的機率幅。
換一種方法表達：
:|\psi\rangle=(c_1,\,c_2,\,\dots,\,c_n)^T=\begin{pmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
\vdots \\
c_n
\end{pmatrix}\,\!。
在狄拉克標記方法裏，態向量|\psi\rangle\,\!稱為右矢。對應的左矢為\langle\psi|\,\!，是右矢的厄米共軛，用方程式表達為
:\langle\psi|=|\psi\rangle^{\dagger}=(c_1^,\,c_2^,\,\dots,\,c_n^*)\,\!；
其中，\dagger\,\!象徵為取厄米共軛。
設定兩個態向量|\alpha\rangle=(a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_n)^T\,\!，|\beta\rangle=(b_1,\,b_2,\,\dots,\,b_n)^T\,\!。定義|\alpha\rangle\,\!內積|\beta\rangle\,\!為
:\langle\alpha|\beta\rangle=\sum_i\ a_i^* b_i\,\!。
這內積的結果是一個複數。
性質
1）共軛複數
|\beta\rangle\,\!內積|\alpha\rangle\,\!是|\alpha\rangle\,\!內積|\beta\rangle\,\!的共軛複數：
:\langle\beta|\alpha\rangle=\langle\alpha|\beta\rangle^*\,\!。
2）歸一性
定義|\alpha\rangle\,\!內積|\alpha\rangle\,\!的平方根為|\alpha\rangle\,\!的範數，標記為|\alpha|\,\!。由於態向量滿足歸一性，態向量的範數必定等於1：
:|\alpha|=\sqrt{\langle\alpha|\alpha\rangle}=1\,\!。
3）柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式闡明：
:\langle\alpha|\beta\rangle^2 \le \langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle\,\!。
參考文獻
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